Вопросы и задачи к зачету по дисциплине профиля АиДМ «Сингулярное разложение и его приложения»

Вопросы и задачи к зачету по дисциплине профиля АиДМ

«Сингулярное разложение и его приложения»

Нормированные пространства; Неравенства Гельдера и Минковского; Нормы Гельдера; Нормы в бесконечномерном пространстве; Метрические пространства; Предел и полнота; Множества в метрическом пространстве; Компактность и непрерывность; Эквивалентность норм; Компактность замкнутых ограниченных множеств; Наилучшие приближения; Определитель Грама и ее свойства; Обобщение неравенства Шварца-Буняковского; Неравенство Адамара; Теорема Пифагора и ее следствия; Неравество Бесселя, равенство Парсеваля; Перпендикуляр и проекция; Ортогональные системы; Линейные операторы; Непрерывность и ограниченность; Операторная норма; Матричная норма; Норма Фробениуса; Сохранение норм; Унитарно инвариантные нормы; Сингулярное разложение матрицы; Сингулярные числа и сингулярные векторы; Полярное разложение; Выводы из сингулярного разложения; Сингулярное разложение и решение систем; Метод наименьших квадратов; Псевдообратная матрица; Наилучшие аппроксимации с понижением ранга; Расстояние до множества вырожденных матриц.

Задачи (MathCAD).

В матрице третьего порядка элементы являются матрицами порядка 100 с постоянными элементами, равными 0, если четное, и равными, иначе; Сформировать числовую матрицу (порядка 300) и получить изображение матриц ( ); Получить сингулярные числа матрицы и её представление суммой простейших матриц

,

получить изображение для первого слагаемого этой суммы.

Для любой матрицы элемент в позиции может рассматриваться как функция от дискретных переменных и ; Сформировать матрицу порядка (),

.

Опираясь на представление матрицы суммой простейших матриц для функции получить разделение дискретных переменных:

.

Доказать, что независимо от матрица имеет только два сингулярных числа; найти эти числа. Сформировать матрицу порядка ()

(матрица Гильберта).

Для сформированной матрицы получить соответствующую матрицу

,

где (),

.

Построить график сингулярных чисел и получить BMP изображение матрицы . Для BMP-матриц выбранных изображений (фото и пейзаж) получить сингулярные числа и вычислить норму Фробениуса. Оставляя первые сингулярных чисел получить BMP-матрицы сжатых изображений, получить их представления на экране; выбрать значений , для которых сжатые будут очень хорошего качества, хорошего, удовлетворительного, плохого (идентифицируещего); По этим сингулярным числам определить нормы сжатых изображений, числа отношения исходной нормы к норме сжатого изображения и коэффициенты сжатия . Составить таблицу.