Тема: «Эллипс, гипербола, парабола»

Урок 12

Тема: «Эллипс, гипербола, парабола».

Цель деятельности учителя	Создать условия для  того, чтобы научиться строить эллипс, гиперболу и параболу.
Основное содержание темы, термины и понятия	Кривые второго порядка, эллипс, гипербола, парабола, канонические уравнения
Планируемый результат
Предметные умения	Универсальные учебные действия
Предметные: усвоение систематических знаний кривых второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, канонические уравнения	Познавательные: умение понимать и использовать математические средства наглядности, для иллюстрации, интерпретации, аргументации. Регулятивные: умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей. Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры. Личностные: формирование целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики.
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф.); парная (П.); индивидуальная (И.)
Образовательные ресурсы	1. Геометрия. 10–11 классы / , , (М.: Просвещение, 2015).
I этап. Актуализация опорных знаний.
Цель: выяснить затруднения учащихся	(Ф). 1). Проверить решение домашней работы. Ответить на вопросы учащихся.
II этап. Построение эллипса.
Цель: научиться строить эллипс, записанный в  каноническом уравнении	(Ф/И) Как построить эллипс? Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом: Пример 1 Построить эллипс, заданный уравнением Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду: Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению . В данном случае : Отрезок называют большой осью эллипса; отрезок – малой осью; число называют большой полуосью эллипса; число – малой полуосью. в нашем примере: . Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки не является рациональным по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В  реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса на черновике быстренько выражаем: Далее уравнение распадается на две функции: – определяет верхнюю дугу эллипса; – определяет нижнюю дугу эллипса. Любой эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция . Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами . Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения. Отметим на чертеже точки (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию: Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл Эксцентриситетом эллипса называют отношение , которое может принимать значения в пределах . В нашем случае: Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины рассматриваемого эллипса, то есть, значение большой полуоси будет оставаться постоянным. Тогда формула эксцентриситета примет вид: . Начнём приближать значение эксцентриситета к единице. Это возможно только в том случае, если . Что это значит? …вспоминаем про фокусы . Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» по оси абсцисс к боковым вершинам. И, поскольку «зелёные отрезки не резиновые», то эллипс неизбежно начнёт сплющиваться, превращаясь всё в более и более тонкую сосиску, нанизанную на ось . Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат. Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса пошли навстречу друг другу, приближаясь к центру. Это означает, что значение «цэ» становится всё меньше и, соответственно, эксцентриситет стремится к нулю: . При этом «зелёным отрезкам» будет, наоборот – «становиться тесно» и они начнут «выталкивать» линию эллипса вверх и вниз. Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета к нулю, тем эллипс больше похож на окружность (смотрим предельный случай , когда фокусы успешно воссоединились в начале координат) Пример 2: Построить график линии, заданной уравнением Решение: выделим полный квадрат: – окружность радиуса с центром в точке . Выполним чертёж:
III этап. Построение гиперболы.
Цель: уметь строить гиперболу, записанную в  каноническом уравнении	(Ф/И) Пример 1: Построить гиперболу 16x2 − 9y2 = 144. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис. Решение. Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду: 16x2−9y2 = 144|:144⇒16x2 / 144 − 9y2 / 144=1⇒ ⇒x2/9 – y2 /16 = 1⇒ x2/ 32 -  y2/ 42 =1.⇒ а) Находим полуоси a=3, , b=4. б) Фокусы найдем по формулам F1(−c,0) и F2 (c,0), где c = ⇒ F1(−5,0),F2(5,0). в) Эксцентриситет e = c/ a = 5/3 г) Асимптоты гиперболы находим по формулам y=± b/ax: y=±4/3x. д) Уравнения директрис находим по формулам D1: x=−a/e и D2: x = a/e: D1: x=−9/5 и D2: x=9/5. Сделаем рисунок: Ответ: а) a=3,a=3, b=4;b=4; б) F1(−5,0),F2(5,0); в) e=5/3; г) y=±4/3x; д) D1: x=−9/5 и D2: x = 9/5.
IV этап. Построение параболы.
Цель: уметь строить параболу, записанную в  каноническом уравнении	Пример 1: Построить параболу Решение: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу. В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» : Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу. Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое определение параболы: Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку . Точка называется фокусом параболы, прямая – директрисой (пишется с одной «эс») параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением . В нашем примере : Пример 2: Решение: преобразуем уравнение: Вершина параболы находится в точке , ветви направлены влево. С помощью уравнений найдём дополнительные точки: Выполним чертёж: Парабола получена путём поворота параболы на 180 градусов и её параллельного переноса в точку . Из канонического уравнения находим фокальный параметр , фокус и уравнение директрисы . Примечание: в случае необходимости нетрудно найти координаты фокуса и уравнение директрисы неканонически расположенной параболы . Учитывая поворот и параллельный перенос: .
V этап. Итоги урока. Рефлексия
(Ф/И) - Чему научились на уроке? - Задайте три вопроса по теме урока.	(И) Домашнее задание: 1) Установить, что уравнение 5x2+9y2−30x+18y+9=05 определяет эллипс, найти его центр C, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис. 2) Установить, что уравнение 16x2−9y2−64x−54y−161=0 определяет гиперболу, найти ее центр C, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис. 3) Построить параболу y2 = 6x и найти ее параметры.