Тезисы проекта
Тема «Метод интервалов для плоскости»
Работу выполнили:
Грыськова Вероника и Дерябина Яна
ученицы 9«М» класса МБОУ «СОШ № 32 г. Энгельса»
Научный руководитель:
учитель математики
Важной частью математической культуры, необходимой для овладения методами решения нестандартных уравнений и неравенств (в том числе и задач с параметром), является умение строить графики элементарных функций и использовать графические иллюстрации уравнений и неравенств.
Цели проекта
- Рассмотреть «метод областей» как общий прием решения неравенств на плоскости; Рассмотреть задачи, которые решаются с помощью «метода областей», научиться применять метод областей при решении заданий с параметрами и задач на оптимизацию; Рассмотреть задачи из ЕГЭ ( № 18, № 19), которые можно решить с помощью «метода областей».
Гипотеза:
можно ли метод интервалов для решения рациональных неравенств, применить при решении уравнений и неравенств с параметрами на координатной плоскости?
Мы рассмотрели задачи, в которых графические иллюстрации позволяют наглядно представить решение и записать ответ, а поиск ответа с помощью только аналитических средств приводит к ощутимым логическим трудностям. В таких задачах степень параметра обычно равна 1, а по типу эти задачи представляют собой системы неравенств либо сводятся к таким системам. Последние позволяет изобразить множества всех точек плоскости Оxa (здесь а-параметр), удовлетворяющих условию задачи, в виде некоторой фигуры (иногда говорят «области», а сам метод решения называют методом областей). После этого, рассматривая различные положения горизонтальной прямой а=с (такую прямую часть называют считывающей; здесь с-число) относительно изображенной области, можно довольно просто найти ответ на вопрос задачи.
Также рассмотрели задачи с экономическим содержанием. В таких задачах обычно заданы определенные условия производства какой-либо продукции или услуги (это могут быть любые изделия, сельхозпродукты, полезные ископаемые, транспортные перевозки и т. д.) и нужно найти значения некоторых величин с целью максимизации прибыли или минимизации расходов. Связи между данными величинами задаются линейными уравнениями и неравенствами ( поэтому эти задачи часто относят к задачам линейного программирования).
Вводя в качестве параметра величину, максимум или минимум которой надо найти и которую обычно называют целевой функцией, и выразив одну из переменных через другую переменную и введенный параметр, мы придем к традиционной с точки зрения элементарной математики – и притом одной из наиболее простых – задаче на метод областей, поскольку будут даны система линейных неравенств и уравнений, задающих условия производства продукции или услуги, и линейная функция с параметром, наибольшее или наименьшее значение которого надо найти.
На координатной плоскости такая система задает многоугольник, расположенный в первой координатной четверти (поскольку в подобных задачах идет речь о неотрицательных величинах), а графиком линейной функции является прямая, с помощью параллельных переносов которой и можно найти требуемое значение параметра, например максимальное значение, при котором эта прямая будет иметь с построенной областью хотя бы одну общую точку. Иногда приходится учитывать и то, что общая точка прямой и многоугольника должна иметь целые координаты. Отметим, что в таких задачах порой используются абстрактные денежные единицы (обозначение: д. е.).Это могут быть рубли, тысячи, миллионы рублей или единицы других валют.
Выводы:
Таким образом, метод областей можно называть методом интервалов для плоскости. Его можно использовать для решения задач с параметром и задач на оптимизацию. В ходе работы над проектом нами на примерах рассмотрен геометрический способ решения (метод областей) алгебраических уравнений и неравенств и их систем. Задачи, решенные методом областей, помогут нам при решении сложных задач ЕГЭ и ОГЭ.