Перпендикулярность в пространстве

Перпендикулярность в пространстве

Наряду с отношением параллельности в геометрии важнейшую роль играет отношение перпендикулярности. На плоскости имеет смысл говорить только о перпендикулярности прямых (или их частей), а в пространстве уже три возможности: перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.

Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным прямым.

а и в - скрещивающиеся прямые,

с и а - параллельные прямые.

в,  с,

чтобы найти угол между прямыми а и в, нужно найти угол между  в и с, т. е. <(а, в)= <(с, в)

Определение.  Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900.

Прямые в пространстве могут быть: перпендикулярными, пересекающимися, скрещивающимися.

  Д1  С1

  А1  В1

Д  С

А  В

АВСДА1В1С1Д1- куб. ВССС1, ДССС1, АДСС1, А1Д1СС1, АА1В1СС1.

Теорема: Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и  другой прямой.

a || b, d a

Доказательство: пусть a || b, d a. Докажем, что . Для этого через точку О проведем прямые ОА, ОВ и ОД, соответственно параллельные прямым a, b, d. Так как a || b, то прямые ОА и ОВ совпадут, т. е. ДОВ=ДОА. Но по условию d a (ДОА=900), поэтому ДОВ=900. Следовательно .

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна  любой прямой, проходящей через точку пересечения и лежащей в этой плоскости.

Решение задач:

№ 1. В треугольнике АВС дано: С=900, АС=6 см, ВС= 8 см, СМ - медиана. Через вершину С поведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найти КМ.

  К

А

  С  М

  В

№ 2. Прямая СД перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой СД. Известно, что АВ= 16см, ОК= 12 см, СД=16 см. Найдите расстояние от точек С и К до вершин А и В треугольника.

Перпендикулярность плоскостей

1. Расстояние между параллельными плоскостями:

2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Признак перпендикулярности плоскостей.

Решение задач

№ 3. Из точек А и В, лежащих в двух  перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВД на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС = 6 м, ВД = 7 м, СД = 12 м.

Перпендикуляр и наклонная к плоскости, проекция наклонной на плоскость. Теорема о трех перпендикулярах.

Определение.  Наклонной называется отрезок, один конец которого лежит в плоскости и не является перпендикуляром к данной плоскости.

АН - перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости б.

Н - основание перпендикуляра

М - основание наклонной

АМ - наклонная

НМ - проекция наклонной АМ на плоскость

Определение. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Теорема о трех перпендикулярах.  Прямая, проведенная на плоскости перпендикулярно проекции наклонной, перпендикулярна и этой наклонной.

Доказательство ТТП

Решение задач

№ 4. Через точки А и В прямой АВ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости б и пересекающие ее соответственно в точках А1 и В1. Найдите А1В1, если АВ=15 см, АА1=21,5 см, ВВ1=33,5 см.

Решение.

АА1, ВВ1 АА1| | ВВ1 АА1=КВ1=21,5 см, КВ= 33,5-21,5=12 см Д АВК - прямоугольный. По теореме Пифагора АК= 9 см А1В1 = АК= 9см.

№ 5. Расстояние о точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см. найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ= 6 см.

Опустим перпендикуляр МО к плоскости АВС.

  1) МО АВС

2) Д АОМ= Д ВОМ= Д СОМ (как прямоугольные по гипотенузе и катету), значит  АО=ВО=СО, т. е. О - центр описанной около треугольника АВС окружности.

  3) см.

  4) Д МОС - прямоугольный, МО= см.

№ 6.  Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее другой. Проекции наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите наклонные.

№ 7. Из вершины квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АЕ к плоскости квадрата. Чему равно расстояние от точки Е до прямой ВD, если AЕ = 2 дм, АВ = 8 дм?

№ 8. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если AD = 4 м, ВС = 7м, CD = 1 м.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «Перпендикулярность в пространстве»

№ 1. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см и 15 см. Проекция одной из них на 4 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных.

№ 2. Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр АD к плоскости треугольника. Чему равно расстояние от точки D до прямой ВС, если AD = 1 дм, ВС = 8 дм?

№ 3. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС = 3 м, BD = 4 м, CD = 12 м.