Об одном свойстве p-адической метрики

Об одном свойстве p-адической метрики

Автор: , ученик 11 класса, школа №7, г. Ступино, Московская область.

Научный руководитель: , аспирант механико-математического факультета МГУ им. .

Введение.

Одним из самых фундаментальных понятий современной математики является понятие метрического пространства, введенное М. Фреше в 1906 году. Оно довольно часто встречается в современной математике, обобщая понятие расстояния на объекты любой природы. Элементами метрического пространства могут быть числа, точки 3-х мерного пространства, многочлены, двоичные последовательности и даже функции. Существует, вообще говоря, много способов ввести метрику на данном множестве. Если множество наделено какой-нибудь алгебраической структурой, например, является кольцом или полем, то метрика обычно вводится через понятие нормы. Норма – это обобщение абсолютной величины числа на случай произвольных полей и колец. Если в качестве базового множества взять поле Q рациональных чисел, то расстояние между двумя числами обычно вводится как абсолютная величина их разности. На Q можно вводить еще множество норм, определяя соответствующие метрики, но как показал А. Островский в 1917 году, любая такая метрика, в некотором смысле, эквивалентна либо обычному расстоянию либо p-адической метрике, изучаемой в данной работе. Своим появлением, p-адическая метрика  обязана работам выдающегося немецкого математика К. Гензеля. В своей пионерской работе 1897 года он пришел к понятию p-адического числа, которое также соотносится с рациональным числом по отношения к p-адической метрике, как соотносится с ним понятие действительного числа по отношению к обычному расстоянию на числовой прямой. p-адическая метрика определена так, что два рациональных числа тем ближе, чем на большую степень простого числа p делится их разность.  Эта метрическое пространство обладает интересными свойствами. Одно из них заключается в том, что все «треугольники» в нем «равнобедренные». Точная формулировка этого свойства, постановка и решение одной задачи, связанной с ним, являются целью данной работы. 

Основные определения и результаты.

Пусть Х – непустое множество. Функция d, определённая на множестве всех упорядоченных  пар элементов Х и принимающая неотрицательные вещественные значения , называется расстоянием или метрикой на Х, если для любых выполняются следующие свойства:

тогда и только тогда, когда.  (1.1)   (1.2)   .  (1.3)

Множество Х вместе с заданной на нём метрикой d называется метрическим пространством. В качестве множества Х мы рассмотрим множество рациональных чисел Q. Обычно метрики на множестве Q задают, используя понятие нормы. Нормой на Q называется отображение, обозначаемое через , множества Q во множество неотрицательных вещественных чисел, такое, что:

  1) тогда и только тогда, когда х=0.  (2.1)

  2).  (2.2)

  3).  (2.3)

Рассмотрим функцию =, и докажем, что она является нормой на Q.

=0. Первое свойство доказано.

Для доказательства второго свойства найдём .

, так как .

, т. к. по определению нормы.

Второе свойство доказано.

Докажем третье свойство:

. (Третье свойство нормы (2.3)).

Мы доказали, что данная функция является нормой на множестве Q.

Пример нормы для рациональных чисел даёт абсолютная величина . Метрика = совпадает с обычным расстоянием на числовой прямой.

Рассмотрим одно простейшее свойство данной метрики:

Теорема 1. Для любого существует последовательностьтакая, что все числа вида , различны.

Рассмотрим последовательность ,,…,, т. е. i=1,2,…,n. Можно заметить, что . Действительно, , i=1,2,…,n. Докажем методом математической индукции, что все числа вида , где различны для данной последовательности. Предположим, что предположение справедливо для. Докажем его справедливость для  . По предположению индукции все числа вида , , различны, значит, осталось доказать, что числа вида различны (что очевидно) и отличны от предыдущих. Это следует из неравенства . Теорема доказана.

Поскольку число различных пар, где , равно , то для данной метрики = количество различных расстояний будет .

На множестве рациональных чисел кроме абсолютной величины можно ввести другие нормы.

Пусть p – некоторое простое число. Для произвольного аQ\{0} положим равным степени вхождения p в разложение a на простые множители, т. е. если  , где простые множители, числа ()  соответственно степени этих множителей, то .

Например, ,,. Положим .

Докажем несколько свойств функции .

(1).

Пусть , а .

По определению: , а .

.

(2).

Аналогично, пусть , а ,, а .

=

.

Определим отображение:

  .

Докажем, что является нормой на Q.

Доказательство.

Свойство (2.1) следует непосредственно из определения. При или свойство (2.2)  очевидно.

Пусть и , тогда , а

.

Исходя из того, что , а делаем вывод, что .

Свойство (2.2)  доказано.

  3) 

При  свойство  (2.3)  очевидно.

Пусть .

Пусть , а .

  .

Докажем, что справедливо следующее важное неравенство:

  .

Пусть , а , где р не делит и

Тогда . Тогда то, что очевидно. 

Используя вышедоказанное неравенство, делаем вывод, что , откуда находим, что

.  Значит .

.

Получается, что . Так как , то

. Свойство (2.3) доказано.

На самом деле мы доказали более сильное неравенство, которое и интересует нас больше всего.

Таким образом, функция  является нормой на Q.

Свойство метрики  известно как неравенство треугольника.

Норма называется неархимедовой, если для любых Q выполняется неравенство , соответствующая ей метрика также называется неархимедовой и, как легко видеть, обладает следующим свойством:

                               ,                                        (3)

т. е. любая сторона «треугольника» не превосходит максимума двух других «сторон» (рис. 1).

                                               Рис. 1

Поэтому метрическое пространство будет обладать удивительным свойством – любой «треугольник» в нём будет равнобедренным. Докажем это от противного. Допустим, не нарушая общности, что , тогда , что противоречит свойству (3). Таким образом, в отличие от обычного расстояния , для метрики не выполняется утверждение, аналогичное теореме 1, т. е. для любой последовательности не все расстояния , , будут различны. Возникает следующая

Задача. Пусть , , произвольная последовательность рациональных чисел. Обозначим через количество различных расстояний вида ,  . Найдём его максимальное значение при фиксированном.

Теорема 2. Имеет место равенство .

Доказательство.  Докажем, для начала, что для любой последовательности , . Доказательство проведем индукцией по n. Для это следует из свойства  «равнобедренного треугольника». Предположим, что утверждение верно для , докажем его для . Рассмотрим последовательность . По предположению индукции, число различных расстояний вида , не превосходит . Если среди расстояний вида , где , есть хотя бы два расстояния и , которые не встречаются среди расстояний вида , , то «треугольник» с вершинами и не будет «равнобедренным», т. е. все три расстояния , и будут различными. Таким образом, мы пришли к противоречию и шаг индукции завершен.

Для доказательства теоремы осталось привести пример такой последовательности , для которой .

Рассмотрим такую последовательность:

. 

Легко видеть, что ,, тогда

,

, , и т. д.

Очевидно, что количество чисел вида , , для такой последовательности равно . Теорема доказана.

Выводы.

В работе рассмотрены основные свойства p-адической метрики на множестве рациональных чисел. Показаны основные ее отличия от обычного расстояния на числовой прямой. Одно из замечательных свойств этой метрики заключается в том, что, в некотором смысле, все «треугольники» в этом метрическом пространстве будут «равнобедренными». Это свойство подсказало интересную задачу: какое максимальное количество различных расстояний, в смысле данной метрики, между n различными числами может быть? Оказывается, что в отличие от обычной метрики их всего n-1. Мне не известны другие работы, в которых бы рассматривалась данная задача.

Список литературы.

p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции: Пер. с англ.,  М.: Мир, 1982.-192с. Коммутативная алгебра: Пер. с фр., М.: Мир, 1971.-707с. , , Теория чисел М.: Наука, 1964.-566с. , Лекции по общей алгебре, М.: Физ.-мат. лит., 1962. –396с.