HАНОЖИДКОСТЬ – КАК БИСТАБИЛЬНАЯ СРЕДА
1, 1, 1, 2
1Дальневосточный государственный университет путей сообщения, г. Хабаровск
2Тихоокеанский государственный университет, г. Хабаровск
E-mail: *****@***ru
Аннотация. Теоретически изучается динамика концентрации наночастиц в жидкофазной среде, находящейся под воздействием светового поля. Получено точное решение нелинейного диффузионного уравнения в виде волн переключения. Показано, что в условиях стационарной температуры и нелинейного коэффициента теплопроводности среды, наножидкость становится бистабильной.
1.Введение
Коллоидные суспензии или, как сейчас их принято называть, наножидкости, широко применяются в различных сферах современной технологии. Например, магнитные жидкости используются для полирования оптических компонентов [1], a суспензии частиц диоксида кремния в жидких кристаллах существенно улучшают характеристики оптических накопителей [2].Отметим также их применение в химических процессах (катализе) , при создании новых лекарств, смазочных материалов и т. д. С ростом производительности электронных устройств и развитием высокоэнергетических технологий возникает необходимость создания эффективных охлаждающих систем и управления большими тепловыми потоками. Весьма перспективными являются разработки, связанные с молекулярными компьютерами, основу которых составляют переключаемые бистабильные молекулы или их агрегаты [3].
Один из способов интенсификации теплообмена - повышение теплопроводности жидкости путём добавления твёрдых частиц с высокой теплопроводностью. Особый интерес при создании таких суспензий представляют наночастицы [4-7]. Как показали исследования последних лет [8-11] жидкофазные среды, в которых в качестве дисперсной составляющей берутся наночастицы из широкозонных полупроводников или диэлектриков оказываются весьма эффективными для реализации ряда нелинейно-оптических эффектов. В этих средах, в отличие от гомогенных, нелинейно-оптический отклик возникает за счёт индуцированного световой волной изменения показателя преломления и коэффициента поглощения, обусловленного явлениями термодиффузии и электрострикции частиц. В то же время, физические механизмы, связанные, в частности, с процессами тепломассопереноса в таких средах, на наш взгляд, требуют дополнительного исследования.
2.Теоретическая модель
Целью нашей работы является теоретическое исследование динамики концентрации наночастиц в жидкофазной среде, подвергаемой лазерному облучению постоянной интенсивности с учетом зависимости коэффициента теплопроводности среды от их концентрации. Считаем, что размеры частиц удовлетворяют условию: 
, где 
- его линейный размер, а 
длина световой волны. Тем самым мы не рассматриваем процессы дифракции и светорассеяния.
Рассмотрим жидкофазную среду с микрочастицами, облучаемую световым пучком с равномерно распределенной по кювете интенсивностью 
. В результате воздействия светового поля в среде возникает градиенты температуры и концентрации, обуславливающие процессы тепломассопереноса. Эти явления описываются системой балансных уравнений для температуры и частиц [12]:
, (1)
. (2)
Заметим, что в уравнении теплопроводности (1) опущено слагаемое, ввиду его малости, отвечающее за эффект Дюфура, а в уравнении диффузии (2) – слагаемое соответствующее действию градиентных сил со стороны светового поля, которые на этом этапе исследований мы не учитываем. Здесь приняты следующие обозначения: 
- оператор Лапласа, 
– температура среды, 
– массовая концентрация частиц (
- масса частиц, 
- масса всей среды), 
- теплофизические постоянные жидкости, 
- интенсивность света, 
- коэффициент оптического поглощения среды; 
– коэффициенты диффузии и термодиффузии соответственно.
В такой общей постановке система (1)-(2) вряд ли разрешима. Поэтому сделаем несколько упрощающих допущений: будем рассматривать одномерный случай и исключим вклад от конвективного слагаемого, которое возникает в уравнении (2). Далее учтём тот факт, что процессы установления температуры идут гораздо быстрее диффузионных. Это дает возможность изучать последние на фоне стационарной температуры: 
В уравнении (1) примем коэффициент теплопроводности, зависящим от концентрации и будем считать, что эта зависимость имеет вид [5-6]
(3)
где 
- коэффициент пропорциональности. Заметим, что такого вида зависимость 
наблюдалась в ряде экспериментов [9,10]. Учитывая вышесказанное, диффузионное уравнение (2) можно записать в виде
(4)
Переходя в этом уравнении к безразмерным переменным: 
- коэффициент Соре, а также используя приближение 
получим задачу:
(5)
(6)
Подобные параболические уравнения с кубической нелинейностью рассматривалось в работах [12,13] применительно к модельной диссипативной среде. Вначале рассмотрим пространственно однородные стационарные состояния. Очевидно, нули функции источника в уравнении (5): 
соответствуют именно таким состояниям.
Как известно, кинетика диссипативной системы сильно зависит от устойчивости стационарных состояний. В нашем случае состояния 
– устойчивые (в них производные от источника 
а состояние 
- неустойчивое. Таким образом, изучаемая нами среда является бистабильной. Следуя работе [13] Решение уравнения (3) будем искать с помощью подстановки Коула-Хопфа
(7)
где 
- новая функция, а 
и 
- постоянные.
Подставляя (7) в (5) и приравнивая нулю, коэффициенты при одинаковых степенях 
получим систему линейных уравнений для определения 
(8)
(9)
а 
Характеристическое уравнение, соответствующее (9) можно записать в виде
(10)
корни которого: 
Далее, учитывая симметрию уравнения (5) относительно замены 
, мы ограничились положительным значением 
Следовательно, для функции 
имеем:
(11)
Подставляя (11) в (9), находим
(12)
где 
– постоянные, определяемые из начальных условий.
Таким образом, точное решение уравнения (5) будет иметь вид
(13)
где 
.
Заметим, что подобное решение было получено другим методом в работе [12].
3. Анализ результатов и обсуждение
Очевидно, решение (13) будет непрерывным для любых значений 
и 
, если 
Отметим, что решение (13) описывает динамику бистабильной системы, в котором волна переключения состояния системы формируется посредством двухволнового механизма.
Переходя в показателях экспонент в (13) к размерным переменным, можно получить выражения для скоростей волн:
(14)
Учитывая, что 
а также выражения для 
видно, что найденное “двухфазное” решение представляет собой две плоские волны концентрации со скоростями 
. Анализ значений 
показывает, что: при 
а в области 
эти скорости разного знака и волны движутся навстречу друг другу. При 
волны бегут в одном направлении. Таким образом, полученное точное решение (14) описывает взаимодействие двух концентрационных волн переключения из промежуточного неустойчивого состояния 
в устойчивые
Далее, так как 
то при больших временах имеем
Заметим, что если рассматривать диффузионные процессы на фоне стационарной температуры в условиях постоянного коэффициента теплопроводности уравнение (3) трансформируется в известное уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова (КПП) [14], которое, как известно, имеет только одноволновое решение и, что важно, в этом случае, система теряет бистабильность (имеется только два пространственно однородных стационарных состояний).
Разумеется, наш подход является в определённой степени модельным, но тем не менее, как надеются авторы, удалось выяснить при каких условиях облучаемая наножидкость приобретает свойства диссипативной бистабильной среды в которой могут распространятся волны переключения.
Мы полагаем, что не все вопросы были исчерпывающе изучены, к примеру, динамика системы с учетом зависимости коэффициента поглощения от концентрации, не рассматривалась обратная связь между температурой среды и концентрацией наночастиц. Их подробное рассмотрение будет предметом наших дальнейших исследований.
Л И Т Е Р А Т УР А
Bardakhanov S. P.,Novopashin S. A.,Serebrjakova M. A. Study conductivity nanofluids nanoparticle alumina.//Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2012, 3 (1), 27-33 Kreuzer M., Tschudi T., W. H. de Jeu W. H., and Eidenschink R. New liquid crystal display with bistability and selective erasure using scattering in filled nematics. //Appl. Phys. Lett.1993. 62(3), 17121-17130 анотехнологии и молекулярные компьютеры. М.:Физматлит, 2007.- 457с Hong T., Yang H., Choi C. J. Study of the enhanced thermal conductivity of Fe nanofluids. // Journal of Applied Physics. 2005. 97, 064311-1–064311-4. Shawn A. Putnam, David G. Cahill, and Paul V. Braun Thermal conductivity of nanoparticle suspensions. //Journal of applied physics 99, 084308 (2006) , Белкин A. A. О коэффициенте теплопроводности наножидкостей.// Письма в ЖТФ, 2010.- т.36, вып.14.- С.;9-54 , ,,, , Микаэлян -оптические свойства наножидкостей на основе широкозонных наночастиц Al2O3 //Квант. Электроника, 2008.- 38(2).- С. 154–158 Livashvili A. I., Krishtop V. V., Yakunina M. I., 2013. Electrostrictive self-action mechanism of radiation in nanofluids. //Adv Condens Matter Phys, Article ID 591087, 5 pages. Livashvili A. I., Krishtop V. V., Bryukhanova T. N., Kostina G. V. Concentration dynamics of nanoparticles under a periodic light field // Physics Procedia 2015. 73, P.-156 – 158 El-Ganainy E., Christodoulides D. N., Rotschild C. and Segev M. Soliton dynamics and self-induced transparency in nonlinear nanosuspensions. // Optics Express. 2007.15 (16),12207-1218 Де Гроот, еравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964.-565 с. , О динамике волны переключения в диссипативной бистабильной среде // ЖТФ.-1995.-т.65.-вып.6.-С. 1-7 , Субочев P. Ю. Волновые решения полулинейных параболических уравнений //TMФ.- 1991.v.89.- С.25-47 , , Пискунов уравнения диффузии и его применение к биологической системе // Бюл. МГУ. Математика и механика.-1937.-т.1.-Вып.6.- С.1-26