Урок 1. Рациональные числа и их свойства (стр. 3 )

Доказательство. Обозначим . Тогда и . Используя неравенство Бернулли, получаем:

       

Отсюда . Но так как по условию , то . Тогда при любом натуральном . Поэтому, по свойству из пункта 1.7, получаем . Так как , то отсюда , что и требовалось доказать.

Вопрос. Что можно сказать о числе , если известно, что оно меньше любого числа вида , где ?

Мини-исследование.

       Как известно, сумма рациональных чисел и , записываемых дробями и , определяется следующим образом: это рациональное число, которое записывается дробью . Возникает естественный вопрос – а если взятьдругие записи рациональных чисел и , например, дроби и , почему полученная по указанному правилу новая дробь является записью рационального числа, записываемого также дробью ? Для ответа на этот вопрос следует

1) заметить, что две дроби и равны (и поэтому являются записью одного и того же рационального числа) в том и только том случае, когда ;

       2) проверить, что если , , то выполняется равенство .

       Покажите, что определение умножения рациональных чисел также не зависит от выбора их записи в виде обыкновенной дроби.

       Напомним, что сравнение рациональных чисел и , записываемых дробями и с положительными знаменателями, определяется следующим образом: в том и только том случае, когда . Покажите, что и это определение не зависит от выбора записи рациональных чисел в виде обыкновенной дроби с положительным знаменателем. Что произойдет, если использовать дроби с отрицательными знаменателями?

Проверь себя. Рациональные числа и их свойства

Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

Значение числового выражения равно

1. ; 2. ; 3. ; 4.

(Правильный вариант: 2)

Значение числового выражения равно

1. ; 2. ; 3. ; 4.

(Правильный вариант: 3)

Значение числового выражения равно

1. ; 2. ; 3. ; 4.

(Правильный вариант: 4)

Проверь себя. Рациональные числа и их свойства

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

В каких из следующих случаев число меньше числа :

1. ; 2. ;

3. ; 4. ?

(Правильные варианты: 1, 2, 3, 4)

Модуль числа можно определить следующим образом:

1. 2. ;

3. 4.

(Правильные варианты: 1, 2, 3)

Домашнее задание

1. Рассмотрим множество всех натуральных чисел. Есть ли среди них: а) наибольшее;  б) наименьшее?

2. Есть ли среди элементов множества всех целых чисел:

а) наибольшее;  б) наименьшее?

3. Пусть и — целые числа, причем . Рассмотрим множество целых чисел из интервала . Найдите: