Введение

Введение

Всем хорошо известно, что все целые числа можно разбить на чётные и нечётные. Оказывается, понятие чётности – нечётности числа может значительно облегчить решение многих олимпиадных задач. Я решил изучить эти возможности, сделать подборку соответствующих задач, ... создать небольшую разработку по теме.

Итак, объект моего исследования – целые числа; предмет – использование понятия чётности – нечётности числа в решении олимпиадных задач.

Напомню, что чётными числами называются числа, делящиеся на 2. Все они могут быть записаны в виде 2n, где n ϵ Z. Тогда все нечётные числа имеют формулы 2n-1 или 2n+1, где n ϵ Z.

  Свойства:

1) Сумма чётных – чётна.

Доказательство.

Пусть a1 и а2 – чётные числа.

Покажем, что a1 + а2 - чётное.

По определению

а1 = 2n1 где n1  ϵ Z.

a2 = 2n2 где n2  ϵ Z.

a1 + а2 = 2n1 + 2n2 = 2(n1 + n2) = 2m, где m ϵ Z.

2) Разность чётных – чётна.

Доказательство.

Пусть a1 и а2 – чётные числа.

Покажем, что a1 - а2 - чётное.

По определению

а1 = 2n1 где n1  ϵ Z.

a2 = 2n2 где n2  ϵ Z.

a1 - а2 = 2n1 - 2n2 = 2(n1 - n2) = 2m, где m ϵ Z.

3) Сумма нечётных – чётна.

Доказательство.

Пусть a1 и а2 – нечётные числа.

Покажем, что a1 + а2 - чётное.

По определению

а1 = 2n1-1, где n1  ϵ Z.

a2 = 2n2-1, где n2  ϵ Z.

a1 + а2 = (2n1-1) + (2n2-1) = 2(n1+ n2-1) = 2m, где m ϵ Z.

4) Разность нечётных чётна.

Доказательство.

Пусть a1 и а2 – нечётные числа.

Покажем, что a1 - а2 - чётное.

По определению

а1 = 2n1-1, где n1  ϵ Z.

a2 = 2n2-1, где n2  ϵ Z.

a1 - а2 = (2n1-1) – (2n2-1) = 2(n1 - n2) = 2m, где m ϵ Z.

5) Сумма нечётного и чётного – нечётна.

Доказательство.

Пусть a1 – нечётное число.

И a2 –чётное число.

Покажем, что a1 + а2 - нечётное.

По определению

а1 = 2n1-1, где n1  ϵ Z.

a2 = 2n2, где n2  ϵ Z.

a1 + а2 = (2n1-1) + (2n2) = 2(n1 + n2)-1 = 2m-1, где m ϵ Z.

6) Разность нечётного и чётного – нечётна.

Доказательство.

Пусть a1 – нечётное число.

И a2 –чётное число.

Покажем, что a1 - а2 - нечётное.

По определению

а1 = 2n1-1, где n1  ϵ Z.

a2 = 2n2, где n2  ϵ Z.

a1 - а2 = (2n1-1) - (2n2) = 2(n1 - n2)-1 = 2m-1, где m ϵ Z.

7) Четность суммы целых слагаемых определяется четностью количества нечетных слагаемых в этой сумме.

По свойству №1 сумма всех четных слагаемых даст четное число.

а) Если нечетных слагаемых четное число, то, разбив их на пары, получим четную сумму (по свойствам №3,1).

Общая сумма четных и нечетных слагаемых также окажется четной (по свойству №1).

б) Если нечетных слагаемых нечетное число, то, при разбивании их на пары, одно число останется без пары. Получим четную сумму плюс нечетное слагаемое. По свойству №5 это нечетное число.

Общая сумма четных и нечетных слагаемых также окажется нечетной (по свойству №5).

Таким образом, четность суммы соответствует четности количества нечетных слагаемых в этой сумме.

8) Произведение нечётных – нечётно.

Доказательство.

Пусть a1 и а2 – нечётные числа.

Покажем, что a1 * а2 - нечётное.

По определению

а1 = 2n1-1, где n1  ϵ Z.

a2 = 2n2-1, где n2  ϵ Z.

a1 * а2 = (2n1-1) * (2n2-1)= 4n1 * n2 - 2n1 - 2n2+1 = 2(2n1 * n2 + n1 + n2)+1 = 2m+1, где m ϵ Z.

9) Произведение чётного и любого числа – чётно.

Доказательство.

Пусть a1 – чётное число

И a2 – любое число, которое ϵ Z.

Покажем, что a1 * а2 - чётное.

По определению

a1 = 2n1, где n1  ϵ Z.

a1 * а2 = 2n1 * a2 = 2(n1 * a2) = 2m, где m ϵ Z.

Покажу как понятие чётности – нечётности может применяться к решению различных задач.

Задача 1:

Можно ли доску размером 5 на 5 заполнить доминошками размером 1 на 2?
Решение:

Площадь поля – 25 клеток (5*5), то есть нечётное число клеток. А площадь доминошки - 2 клетки, а 25 не делится на 2.

Ответ: доску размером 5 на 5 заполнить доминошками размером 1 на 2 нельзя.

Задача 2:

На доске 25 Ч 25 расставлены 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали.
Докажите, что хотя бы одна из шашек расположена на диагонали.

Решение:

Шашки, не стоящие на диагонали, разбиваются на пары симметричных, то есть таких шашек четное число.

Так как всего шашек нечетное число, то на диагонали стоит нечетное число шашек, то есть, по крайнемй мере, одна.

Ответ: Хотя бы одна из шашек расположена на диагонали.

Задача 3:

Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

Решение:

Если бы такое было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся. Однако тогда число звеньев должно быть четным. Но 9 – нечётное число.

Ответ: такую линию нарисовать невозможно.

Задача 4:

Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

Решение:

Квадрат состоит из 36 чисел, значит его размеры – 6x6. В каждом столбике, каждой строке и диагонали по 6 простых чисел.

Среди этих чисел одно четное – 2, а остальные – нечетные. В той строке, где стоит двойка, сумма чисел нечетна, так как там пять нечётных и одно чётное число (свойства №3, 5). А в других – четна (свойство №3).

Таким образом, в разных строчках точно разные суммы, т. е. квадрат не магический.

Ответ: магический квадрат из первых 36 простых чисел составить нельзя.

Задача 5:

Миллионер пришёл в банк, чтобы обменять несколько 50 и 100-рублёвых купюр старого образца. Ему была выдана 1991 купюра более мелкого достоинства, причём среди них не было 10-рублёвых. Докажите, что его обсчитали.

Задача 6:

Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в ис­

ходную точку. Все прыжки имеют одинаковую длину. Докажите, что он сделал чётное число прыжков.

Решение:

Сколько раз он прыгнул вправо, столько же прыгнул и влево (так как вернулся в исходную точку).

Ответ: кузнечик действительно сделал чётное число прыжков.

Задача 7:

Может ли вращаться система из 9 шестеренок, если первая сцеплена со второй, вторая с третьей и т. д., а девятая сцеплена с первой?

Решение:

Если первая шестерёнка вращается по часовой стрелке, то все нечетные шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а первая и девятая одновременно вращаться по часовой стрелке не могут. Если первая шестерёнка вращается против часовой стрелки, то все нечетные шестеренки должны вращаться против часовой стрелки, а первая и девятая одновременно вращаться против часовой стрелки не могут.

Ответ: такая конструкция вращаться не может.

Задача 8:

Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

Решение:

Нужно отложить данную монету в сторону, а затем разделить остальные 100 монет на две кучки по 50 монет, и сравнить веса этих кучек. Если они отличаются на четное число грамм, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечетна, то монета фальшивая.

Докажем это.

1. Предположим отложили не фальшивую монету, а настоящую. Тогда все 50 фальшивых попадут на весы. Пусть на 1-ую чашу попало х монет. Тогда на вторую – (50-х) монет. Предположим, что вес одной монеты - m грамм, тогда вес первой чаши – (50m-x) грамм, а во второй – (50m-(50-x)) грамм.

Найдём разность весов:

(50m-x)-(50m-(50-x))=50m-x-50m+50-x=50-2x – чётное (по свойству №2)

2. Если Петя отложил фальшивую монету, то на весы попадёт 49 фальшивых.

Найдём разность весов:

(50m-x)-(50m-(49-x))=50m-x-50m+49-x=49-2x – нечётное (по свойству №6).

Таким образом, если разность весов – чётная, то монета настоящая, если нечётная, то монета фальшивая.

Ответ: Петя сможет с помощью одного взвешивания понять фальшивая монета или нет.

Задача 9:

На доске написаны числа 0, 1, 0, 0. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?

Решение:

Независимо к каким двум числам мы прибавляем по 1, к общей сумме чисел после каждого хода прибавляется 2. Так как вначале общая сумма чисел равнялась 1, то после ходов она будет оставаться нечётной (по свойству №5), а сумма 4 одинаковых чисел чётна (по свойству №1 и 3).

Ответ: добиться, чтобы все числа стали равными нельзя.

Задача 10:

Максим купил тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 37 листов и сложил все 74 номера страниц, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2014?

Решение:

На каждом листе есть страница с чётным и нечётным номером. Их сумма - нечетное число (по свойству №5).

Сумма 2-х нечетных чисел – четная (по свойству №3), значит  сумма номеров страниц 36-ти листов - тоже чётная, а 37-и - нечётная (по свойству №5).

(или по - другому: по свойству №7 сумма 37 нечетных чисел нечетна).

А число 2014 – чётное.

Ответ: число 2014 получиться не могло.

Задача 11:

Имеется 9 больших листочка бумаги. Некоторые из них разрезали на 3 частей, а некоторые на 7 частей. Затем некоторые из получившихся снова разрезали на 3 или на 7 частей. И так далее. Могло ли получиться в итоге 700 листочков?

Решение:

Число 9 – нечётное, то есть его можно представить в виде суммы чётного и нечётного чисел.

9= 2n+(2m-1) (по свойству №5)

Если на 3 части разделят чётное количество листочков, то получат 3*2n частей – чётное количество (по свойству №9).

Тогда на 7 разделят нечётное количество листочков и получат 7*(2m-1) частей – нечётное количество (по свойству №8).

А сумма чётного и нечётного даст нечётное число.

(по свойству №5)

Если на 3 разделят нечётное количество листочков, то получат 3*(2m-1) частей – нечётное количество (по свойству №8).

Тогда на 7 разделят чётное количество листочков и получат 7*2n частей – чётное количество (по свойству №9).

А сумма чётного и нечётного даст нечётное число.

(по свойству №5).

И в первом и во втором случае получается нечётное число частей. Это число можно снова представить в виде суммы чётного и нечётного чисел. Так как по условию задачи эти действия проводятся несколько раз, то мы всё время будем получать нечётное число частей. А число 700 – чётное.

Ответ: не может получиться 700 листочков.

Мои задачи:

Задача 1:

По кругу расположено 5 космических станций. Можно ли 97 опытных астронавтов распределить между ними так, чтобы на двух соседних станциях количество астронавтов отличалось ровно на 3.

Решение:

Так как количество астронавтов на 2-х соседних станциях отличается на нечётное число 3, то чётность чередуется (по свойствам №3, 5). На 1-ой, 3-ей и 5-ой станциях чётность количества астронавтов одинаковая. Т. к. станции расположены по кругу, то 5-ая и 1-ая станции – соседние. По условию количество астронавтов на соседних станциях отличается на 3, а чётность на них одинаковая. Такое невозможно.

Ответ: распределить между 5-ю космическими станциями 97 опытных астронавтов так, чтобы на двух соседних станциях количество астронавтов отличалось ровно на 3 - невозможно.

Задача 2:

На школьной ярмарке Вася, Стасик, Андрей и Гоша продавали свои поделки. Вася заработал на 23 рубля меньше, чем Стасик, а Гоша заработал на 12 рублей больше, чем Андрей. Когда ярмарка завершилась, ребята решили посчитать, сколько они всего заработали вместе. У них получилось 356 рублей. Правильно ли они посчитали?

Решение:

При прибавлении к числу или вычитании из него чётного числа – чётность не меняется (по свойствам №1, 2, 5, 6). А при прибавлении к числу или вычитании из него нечётного числа – чётность меняется (по свойствам №3, 4, 5, 6). Получается, что в случае с Васей и Стасиком они заработали суммы разной четности, т. к. 23 – нечетное число. В случае с Андреем и Гошей - суммы одинаковой чётности, т. к. 12 – чётное число. Общая сумма Васи и Стасика - нечётная (по свойству №5).  Общая сумма Гоши и Андрея - чётная (по свойству №1 или 3). Сумма, заработанная всеми ребятами – будет нечетной (по свойству №5). Т. к. 356 – чётное число, значит они ошиблись.

Ответ: ребята ошиблись.

Задачи для самостоятельного решения.

В ряд стоят 100 фишек. Разрешается менять местами любые две фишки, стоящие через одну можно ли таким способом переставить фишки в обратном порядке? Даны 6 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Можно к любым двум прибавлять 1. Возможно ли все числа сделать равными? Все кости домино выложили в цепочку по правилам игры. На одном конце оказалась пятёрка. Что может оказаться на другом конце? Может ли прямая, не проходящая через вершины 11-угольника, пересекать все его стороны? На столе стоят 7 перевёрнутых стаканов. Можно ли переворачивая любые два стакана добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно? На доске записаны числа 1, 2, 3, …, 101.Разрешается стереть любые 2 числа и написать их разность. Повторив эту операцию 100 раз, мы получим одно число. Докажите, что это число не может быть единиицой. Вася читал книг про капитана Кука. Уже под конец книги капитан Кук попал в плен к гавайскому племени. Их главарь требует у него выкуп, причем, будучи суеверным, хочет получить желаемую сумму ровно тринадцатью монетами. У Кука были только монеты достоинством в 10, 30, 70 и 150 дублонов, а выкуп был назначен в 1000 дублонов. Вася понял, чем кончится дело, и не стал дочитывать книгу. Как и что понял Вася? 50 рублей Васе не хватало на желаемую книгу. Тогда он пошел к другу Юре и предложил поспорить: «Я сейчас напишу на доске числа от 1 до 100. Ты будешь стирать любые два числа и писать вместо них их разность так, чтобы в конце осталась 1. Спорим, что ты не сможешь этого сделать?» Юра поспорил. Выиграл ли Вася? Вася читал политический роман. В нем рассказывалось про страну, в парламенте которой две палаты, и в обеих палатах одинаковое число депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причем воздержавшихся не было. В результате голосования председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса. Вася не стал дальше читать этот роман, так как его автор совсем не подумал о возможности такого голосования. В чем была ошибка автора?

Заключение.

Источники:

Книги:

1. -Белов, . «Как решают нестандартные задачи».

2. , Математический кружок, глава 1. Четность

3. , Задачи по планиметрии, глава 23. Делимость, инварианты, раскраски, параграф 1. Чётность и нечётность.

Сайты:

http://www. lib. repetitors. eu/matematika/41-2009-12-06-17-47-09/2064-2010-08-01-08-37-11#

http://www. ankolpakov. ru/2012/07/28/olimpiadnye-zadachi-po-matematike-dlya-4-5-klassa-na-chetnost-i-nechetnost/

http://matuha.ru/olimpiadnie-zadaniya/olimpiadnie-zadaniya-na-ch-tnost-razbienie-na-pari--otveti

http://mmmf. msu. ru/archive/20092010/z7/16.html