Подготовка к ЭГЕ и олимпиадам

Для решения задач необходимы знания о геометрических фигурах и их свойствах, вычислении площадей плоских фигур, объемах и площадях поверхности многогранников и тел вращения. Все это можно найти в архиве со шпаргалками, то есть необходимыми материалами:

http://video. ege-study. ru/help_geom. rar

Проверь себя. Вот небольшой список вопросов по геометрии и стереометрии.

Сумма углов треугольника. Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Определения медианы, биссектрисы, высоты треугольника и их свойства. Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Внешний угол треугольника. Его синус, косинус и тангенс. Высота в прямоугольном треугольнике и ее свойства. Площадь треугольника. 5 формул (для произвольного треугольника) Теорема синусов и теорема косинусов. .Признаки подобия треугольников. Отношение площадей подобных фигур Виды четырехугольников, их свойства и формулы площадей.. Площадь круга и длина окружности. Площадь сектора. Центральный угол. Вписанный угол и его свойства. Касательная и ее свойство. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки. Теорема о пересекающихся хордах. Теорема о диаметре и хорде.  Теорема о секущей и касательной. Когда четырехугольник можно вписать в окружность? Когда четырехугольник можно описать около окружности?

Стереометрия. Необходимо знание формул объемов и площадей поверхности для призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара (и конечно, надо знать, как выглядят эти объемные тела).

Задачи по планиметрии

Площади фигур

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см Ч 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Най­ди­те (в см2) пло­щадь S за­кра­шен­ной фи­гу­ры, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те .

Най­ди­те (в см2) пло­щадь S за­кра­шен­ной фи­гу­ры, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те .

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (9;2), (9;4), (1;9).


Найти площадь треугольника ABC, если его вершины имеют координаты A(2;1), B(-1;1) и С(-3;-4).

Най­ди­те абс­цис­су се­ре­ди­ны от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки O(0, 0) и A(6, 8).
Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, вер­ши­ны ко­то­рой имеют ко­ор­ди­на­ты (2; 2), (8; 4), (8; 8), (2; 10).
На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­но два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 9. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (0;0), (10;7), (7;10).

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, , . Най­ди­те BC.
В тре­уголь­ни­ке , – вы­со­та, . Най­ди­те .

В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, . Най­ди­те .
В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, – вы­со­та, , . Най­ди­те .
В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, , . Най­ди­те тан­генс внеш­не­го угла при вер­ши­не A.
В тре­уголь­ни­ке , , тан­генс внеш­не­го угла при вер­ши­не равен . Най­ди­те .
В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, . Най­ди­те . В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, – вы­со­та, , . Най­ди­те .

В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, . Най­ди­те ко­си­нус внеш­не­го угла при вер­ши­не .

Парадокс площадей

Треугольники и их свойства

В тре­уголь­ни­ке , , угол равен 90°. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.
В тре­уголь­ни­ке угол равен , угол равен , – вы­со­та. Най­ди­те раз­ность углов и . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 150°. Бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна 20. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.
Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 10. Из точки, взя­той на ос­но­ва­нии этого тре­уголь­ни­ка, про­ве­де­ны две пря­мые, па­рал­лель­ные бо­ко­вым сто­ро­нам. Най­ди­те пе­ри­метр по­лу­чив­ше­го­ся па­рал­ле­ло­грам­ма.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке угол между вы­со­той и бис­сек­три­сой, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равен . Най­ди­те мень­ший угол дан­но­го тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В тре­уголь­ни­ке – вы­со­та, – бис­сек­три­са, – точка пе­ре­се­че­ния и угол равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.


Угол между бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равен . Най­ди­те мень­ший угол этого тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1Ч1 изоб­ражён рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Най­ди­те длину его ме­ди­а­ны, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе.

*Задача с ЕГЭ-Турнира.

27. Можно ли разрезать тупоугольный треугольник на несколько остроугольных? (ответ и доказательство)

28. В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке , – вы­со­та, . Най­ди­те .

29. В тре­уголь­ни­ке ABC , AD — вы­со­та, угол BAD равен . Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Четырехугольники и их свойства

30. Диагональ разбивает четырёхугольник на два равных треугольника. Верно ли, что этот четырёхугольник - параллелограмм? (ответ и обоснование)

31. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 14 и 26, а ее пе­ри­метр равен 60. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

32. Се­ре­ди­ны по­сле­до­ва­тель­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка, диа­го­наль ко­то­ро­го равна 24, со­еди­не­ны от­рез­ка­ми. Най­ди­те пе­ри­метр об­ра­зо­вав­ше­го­ся че­ты­рех­уголь­ни­ка.

33. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Вы­со­та тра­пе­ции равна 9. Най­ди­те ее сред­нюю линию.

34.  Най­ди­те пло­щадь ромба, если его вы­со­та равна 2, а ост­рый угол 30°.

35. Сред­няя линия тра­пе­ции равна 12. Одна из диа­го­на­лей делит ее на два от­рез­ка, раз­ность ко­то­рых равна 2. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Окружность. Центральный и вписанный угол. Вписанные и описанные многоугольники.

Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Най­ди­те впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на дугу, ко­то­рая со­став­ля­ет окруж­но­сти. Ответ дайте в гра­ду­сах.
Най­ди­те впи­сан­ный угол ABC, опи­ра­ю­щий­ся на дугу AC, длина ко­то­рой равна длины окруж­но­сти. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Угол между хор­дой AB и ка­са­тель­ной BC к окруж­но­сти равен . Най­ди­те ве­ли­чи­ну мень­шей дуги, стя­ги­ва­е­мой хор­дой AB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна 1. Про­ти­во­ле­жа­щий ей угол равен . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

К окружности, вписанной в треугольник, проведены три касательные. Периметры

отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Че­ты­рех­уголь­ник впи­сан в окруж­ность. Угол равен , угол равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

В окруж­но­сти с цен­тром и – диа­мет­ры. Цен­траль­ный угол равен . Най­ди­те впи­сан­ный угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Два угла впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка равны 65° и 41°. Най­ди­те боль­ший из остав­ших­ся углов этого че­ты­рех­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Около окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой равен , опи­сан пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого ше­сти­уголь­ни­ка.

47. Бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны 30, ос­но­ва­ние равно 36. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

48. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, опи­сан­ной около окруж­но­сти, равен 22, ее боль­шая бо­ко­вая сто­ро­на равна 7. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

49. Около тра­пе­ции опи­са­на окруж­ность. Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 24, сред­няя линия равна 11. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции.

50. Около окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой равен 3, опи­сан мно­го­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го равна 33. Най­ди­те его пе­ри­метр.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен √3. Найдите сторону этого треугольника.

Задачи по стереометрии

Нахождение объемов и площадей поверхности

Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна 3, вы­со­та равна 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­линдра.
Вы­со­та ко­ну­са равна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на .
Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Гра­нью па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной 1 и ост­рым углом 45°. Одно из ребер па­рал­ле­ле­пи­пе­да со­став­ля­ет с этой гра­нью угол в 45° и равно 5. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 36р, вы­со­та — 10. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем куба, если все его рёбра уве­ли­чить в 5 раз?

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в два раза?
Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Вы­со­та ци­лин­дра равна ра­ди­у­су ос­но­ва­ния. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.
От тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 12, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через сто­ро­ну од­но­го ос­но­ва­ния и про­ти­во­по­лож­ную вер­ши­ну дру­го­го ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем остав­шей­ся части. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

Разные задачи по стереометрии        

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы сов­па­да­ет с цен­тром ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 43. Най­ди­те угол АС1С. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 9, а диа­метр ос­но­ва­ния равен 3. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.
В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 5000 см3 воды. Уро­вень воды при этом до­сти­га­ет вы­со­ты 14 см. В жид­кость пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся на 7 см. Чему равен объем де­та­ли? Ответ вы­ра­зи­те в .

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки , , , , , пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да , у ко­то­ро­го , , .

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 11, а угол между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем равен 45°. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 18. Плос­кость, па­рал­лель­ная плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит его вы­со­ту на от­рез­ки дли­ной 3 и 6, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са этой плос­ко­стью.

В куб с реб­ром 3 впи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на .

Диа­го­наль пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна и об­ра­зу­ет углы 30, 30 и 45 с плос­ко­стя­ми гра­ней па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды слу­жит пря­мо­уголь­ник, одна бо­ко­вая грань пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а три дру­гие бо­ко­вые грани на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60. Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 12. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

В со­су­де, име­ю­щем форму ко­ну­са, уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет вы­со­ты. Объём жид­ко­сти равен 14 мл. Сколь­ко мил­ли­лит­ров жид­ко­сти нужно до­лить, чтобы на­пол­нить сосуд до­вер­ху?
В кубе най­ди­те угол между пря­мы­ми и . Ответ дайте в гра­ду­сах. Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 30. Плос­кость про­хо­дит через сто­ро­ну ос­но­ва­ния этой пи­ра­ми­ды и пе­ре­се­ка­ет про­ти­во­по­лож­ное бо­ко­вое ребро в точке, де­ля­щей его в от­но­ше­нии 7:8, счи­тая от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды. Най­ди­те боль­ший из объ­е­мов пи­ра­мид, на ко­то­рые плос­кость раз­би­ва­ет ис­ход­ную пи­ра­ми­ду.
В правильной четырёхугольной призме ребро равно 15, а диагональ равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки , и .
В правильной треугольной призме стороны оснований равны 2, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер , , и .
В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: ,, . Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки , и

Какую форму должна иметь пробка, чтобы ею можно было заткнуть отверстия трех видов: треугольное, квадратное и круглое?

27. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

29. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

Задачи на построение сечений

30. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через данные точки

32. 

(Теорема о пересечении двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости: Пусть прямая l параллельна плоскости р. Если плоскость у проходит через прямую l и пересекает плоскость р по прямой m, то m параллельна l) .

33. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка K — середина ребра A1D1. Постройте сечение куба плоскостью ACK.

34. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2. Точка E — середина ребра B1C1. Найдите площадь сечения куба плоскостью ABE

35. В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDS (с вершиной S) точка M — сере - дина ребра SC. Постройте сечение пирамиды плоскостью ABM.

36. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходя - щей через вершину D1 и середины рёбер AD и CD

37. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 4, а сторона основания равна 6. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, B и середину ребра B1C1.