УДК 744:514.185.2
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННО ЗНАКОВОЙ ИНФОРМАЦИИ НА ЧЕРТЕЖАХ
, к. т.н., доц. филиала ГУ КузГТУ,
, студентка гр. ГО–103
Известно, что фундаментальными понятиями геометрии является пространство и его размерность. Под размерностью пространства понимается количество параметров, которое необходимо для выделения точки в нем. Это основное понятие может быть определено и как минимальное число направлений точки, пользуясь которыми возможно переместить точку пространства до совмещения с любой другой.
Для выделения точки в Rn необходимо указать n параметров. Точка R0 , прямая R1 , плоскость R2 … являются линейными образами, в аналитической геометрии они описываются уравнениями первого порядка. Пространство может быть не только точечным. Элементами пространства также являются прямые, окружности, плоскости и другие образы. Прямые в R3 являются четырехмерным множеством, так как для задания прямой в R3 необходимо четыре параметра. Пучок прямых на плоскости является одномерным множеством, а связка прямых или плоскостей в R3 – двухмерным множеством. Для установления размерности вновь сконструированных пространств можно использовать взаимно однозначное соответствие элементов данного множества с элементами известных пространств. Так, например, пучок прямых можно однозначно сопоставить с рядом точек на прямой, а связку прямых – с плоским полем точек [4].
Задание двух точек определяют прямую линию, трех – плоскость, (n+1) точек – пространство Rn. Набор элементов (точек), определяющих геометрический образ называется репером. Если количество точек, входящих в реперы двух пространств Rk и Rl, принадлежащих Rn, превосходит (n+1), то Rk и Rl имеют пересечение в Rn по образу Rp. Размерность которого определяется по формуле: p + l – n [4]. Если образы Rk и Rl не имеют пересечения в Rn, то они объединяются в образ Rql, размерность которого равна: k + l + 1.Очевидно, что размерность пространства и информационный индекс элемента совпадают по значению, но первый относится ко всему множеству, а второй – к элементу множества. Для определения информационного индекса jm элемента Rm, входящего во множество всех Rm, заполняющих Rn, используется формула: jm. = (n – m)(m + l) [4]. Множество всех элементов Rl, содержащих в себе один и тот же образ Rk (k<l) и расположенных в Rn, называется звездой. Образ Rl – элемент звезды, Rk – центр звезды. Звезда символически записывается Rkln. Информационный индекс звезды определяется по формуле: jзв. = ( n – l)(l – k) [4].
Кроме линейных элементов пространства существует бесконечное разнообразие криволинейных форм. При изучении криволинейных форм задается алгоритм их построения или набор элементов (репер), определяющий их. Как правило, алгоритмы построения криволинейных форм состоят из линейных образов и операций их пересечения и объединения. Пространства могут также рассматриваться как множества криволинейных форм. Так, плоскость, представленная совокупностью всех окружностей, является трехмерным множеством. Чаще всего, когда точка является элементом множества, используется термин «размерность», а когда элементом множества является какой-то другой образ – термин «параметрическое число». Если геометрическое множество имеет несколько элементов, то для определения параметрического числа jm необходимо суммировать числа параметров всех образов: jm. = j1. + j2. + … + jn..
Надо заметить, что понятие о размерности или числе параметров имеют принципиальное значение и для чисто геометрических преобразований. Для получения изоморфной модели необходимо, чтобы исходное множество и его модель имели одинаковую размерность модели меньше размерности исходного пространства, то имеет место гомоморфное моделирование. При этом неоднозначность увеличивается с увеличением разрыва между размерностями объекта и его модели. Одним из характерных способов установления конструктивной связи исходного и картинного пространств является операция проектирования в ее общем виде [3]. Если размерность проектирующих образов меньше размерности элементов исходного пространства, то для получения изоморфной модели необходимо ее повторение. При этом будет иметь место наличие исключенных элементов, не имеющих однозначной модели на картине.
Для определения числа параметров геометрических образов используются различные системы кодирования. Наиболее распространенными системами кодирования являются прямоугольная декартовая и полярная системы координат. Обобщением прямоугольной декартовой системы координат является проективная система координат. Существует и можно сконструировать еще много других вариантов пространственно-числового кодирования. Так, например, все точки плоскости можно кодировать с помощью окружностей из двух центров. Так называемые бинарные поля можно получить и с помощью другого набора линий. Сопоставление ряда точек на прямой линии и ряда чисел называется шкалой [11]. Шкала может быть равномерной, логарифмической и т. д. Много интересных примеров пространственно-числового кодирования можно найти в монографиях и статьях по номографии и расчетным геометрическим моделям. Простота и доступность решения многих практических задач зависит от удачно выбранной системы кодирования. Для кодирования точек поверхностей удобно использовать способы их образования. Так, для выделения точек на поверхности однополостного гиперболоида достаточно пронумеровать две образующие, принадлежащие разным сериям. Заметим также, что разделение образов на линейные и нелинейные может определяться системой отнесения (кодирования). Кривая второго порядка в декартовой системе координат легко спрямляется изменением оцифровки на одной из шкал. На вид геометрического образа или аналитического выражения, его описывающего, оказывает большое значение принятая система отнесения и выбор начала отсчета. Например, движения объекта относительно неподвижного наблюдателя является криволинейным, а относительно движущегося наблюдателя – прямолинейным.
В машиностроительном черчении в качестве начал отсчета используются плоскости и поверхности. Так, для обозначения допусков формы и расположения поверхностей используются теоретические оси, плоскости или поверхности (базы), относительно которых задается числовое значение допуска прямолинейности, плоскостности, цилиндричности и т. д. [1, 2, 5, 6, 8, 14]. При нанесении размеров различают параметры формы и параметры положения формы [8, 9, 12. 13]. Для определения минимального количества размеров детали необходимо уметь определять параметры формы и положения составных элементарных фигур. В теории нанесения размеров на машиностроительных чертежах большое место занимает выбор баз (т. е. начал отсчета): конструкторских, технологических и измерительных [2, 5]. При нанесении предельных отклонений размеров учитывается система посадок (система отверстия или вала), когда различные посадки при одном и том же номинальном размере и классе точности достигаются за счет вала или отверстия. Для обозначения шероховатости поверхности используются усредненные параметры, характеризующие микрогеометрию поверхностей (среднее арифметическое отклонение профиля, средняя высота неровностей профиля по 10 точкам, средний шаг неровностей, относительная опорная длина профиля и т. д.). При нанесении размеров формы используются условные знаки: «Ш» – диаметр, «R» – радиус, «○» – сфера, «∩» – дуга, «□» – квадрат, «∠» – уклон и т. д., которые сокращают число размеров или изображений. По числу параметров (размеров) фигуры на чертеже можно определить достаточность выполненных изображений.
Для любой детали количество размеров на чертеже должно быть минимальным, но достаточным, чтобы можно было определить размеры всех элементов детали. Для каждого элемента неплоских деталей необходимо задать три относительных размера. Однако симметрия и другие особенности детали позволяют сократить количество относительных размеров. Не нужен и третий относительный размер, если деталь имеет вторую вертикальную плоскость симметрии (перпендикулярную первой).
При простановке размеров деталей, представляющих сочетание геометрических тел, надо всегда учитывать минимальное количество размеров, определяющих каждое простое геометрическое тело, и не допускать на чертеже лишних размеров. Так, например, для цилиндра необходимо два линейных размера (высота и диаметр). Для усеченного конуса необходимо задать любых три размера из четырех: диаметр одного основания, диаметр другого основания, высота конуса и конусность (отношение разности диаметров оснований к высоте). Для сферы необходим один размер, при необходимости с пояснительным обозначением (символом ○). Для тора (кольца) необходимо два размера: диаметры образующей и направляющей окружностей. Умение четко определять параметры формы простейших фигур: сферы, цилиндра, конуса, тора, призмы, пирамиды – и их взаимного положения позволяет правильно и быстро читать чертежи.
Проставляя размеры, конструктор должен определить какие размеры проставить на чертеже, чтобы для каждого элемента детали они были заданы не только геометрически полно, технологически грамотно, но и согласованы с производственным процессом, типичным для изготовления данной детали (разметка, обработка, контроль). При этом приходится решать, какие именно элементы детали лучше принять за размерные базы для отсчета и измерения контролируемых размеров.
Размеры плоской детали в опытном производстве используют для индивидуальной разметки по контуру, а в серийном и в массовом производствах – для изготовления приспособления: штампа или шаблона. При разметке сначала проводят две взаимно перпендикулярные линии, которые служат осями координат или размерными базами, от которых откладывают размеры для заданных элементов контура, центров дуг окружностей, центров отверстий, характерных точек; проводят вспомогательные размерные базы и т. д. Затем выполняют геометрические построения для нахождения не заданных центров, решают различные задачи на сопряжения: проводят дуги, касательные, выполняют сопряжения прямых с дугами окружностей и т. д. При простановке размеров на чертежах и разметке фактически применяют обычный метод координат. С деталью связывают взаимно перпендикулярные оси координат таким образом, чтобы количество размеров, определяющих контур, было наименьшим.
Анализ и систематизация численно знаковой информации на чертежах позволяет увидеть общие тенденции развития теории геометрического моделирования и систем автоматизированного проектирования для интенсификации процессов разработки и выпуска новых изделий. Для успешного решения разнообразных конструкторско-технических задач с помощью современных средств вычислительной техники необходимо соответствующее программное обеспечение, которое, в свою очередь, практически невозможно без специальной разработки законов и правил выполнения чертежей различных отраслей производства.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Березина и их применение: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1979. 143 с. Вальков методы научного моделирования: Учебное пособие для слушателей ФПК. – Л.: ЛИСИ, 1977. 80 с. Вальков по основам геометрического моделирования. – Л.: ЛГУ, 1975. 180 с. Вальков в теорию моделирования. – Л.: ЛИСИ, 1974. 152 с. Глаголев геометрия /Под. ред. . – 2-е изд. – М.: Высшая школа, 1963. 344 с. Дубровин геометрия: Методы и приложения / , , – 2-е изд., перераб. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 760 с. атематика. Поиск истины: Пер. с англ. /Под ред. и с предисл. , . – М.: Мир, 1988. 295 с. Кокстер встречи с геометрией / , . Пер. с англ. /Под ред. . – М.: Наука, 1978. 223 с. Математическое моделирование /Под ред. и предисл. Дж. Эндрюса и Р. Мак-Лоуна: Пер. с англ. – М.: 1976. 277 с. Сазанов мир Минковского. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988 – (Пробл. науки и техн. прогресса). 224 с. еречисление графов / : Пер. с англ. . – М.: Мир, 1977. 324 с. Хованский номографии. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. 351 с. Четверухин геометрия: Учеб. для пед. ин-тов. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1969. 368 с. Bertoline G. R. Engineering graphics communication. / Bertoline G. R., Wiebe E. N., Miller C. L., Nasman L. O. USA: Richard D. Irwin, inc., 1995. 1085 p. Pare E. G. Descriptive geometry: Fourth Edition / Pare E. G., Loving R. O., Hill I. L. New York: Macmillan publishing co., inc. London: Collier Macmillan publishers, 1971. 392 p.