Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения.

Программа рассчитана на 36 лекционных и 36 практических часов.

Курс изучается в течение 3 семестра обучения.

За это время проводится 4 контрольных работы, выполняется типовой расчет,

в конце семестра сдается экзамен.

Лекции.

1. Основные понятия: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных; порядок дифференциального уравнения; решение уравнения. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Примеры физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Начальные условия. Задача Коши, ее геометрический смысл. Общее решение уравнения 1-го порядка. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения 1-го порядка как поля направлений. Метод изоклин графического построения решений.

2-4. Методы решения дифференциальных уравнений 1-го порядка. Основные классы уравнений 1-го порядка, интегрируемых в квадратурах: дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения; линейные уравнения (решение методом вариации постоянной и методом Бернулли); уравнения Бернулли; уравнения в полных дифференциалах.

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод Эй        лера. Дифференциальное уравнение однопараметрического семейства плоских кривых. Задача об ортогональных траекториях. 

6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнение порядка n, постановка задачи Коши для него. Теорема существования и единственности ее решения (без доказательства). Случаи, когда дифференциальное уравнение допускает понижение порядка.

7. Линейные однородные уравнения. Теорема о множестве решений однородного линейного дифференциального уравнения. Определитель Вронского системы решений однородного дифференциального уравнения, его свойства. Теорема о базисных решениях однородного уравнения и размерности линейного пространства его решений. Структура общего решения. Понижение порядка линейного однородного уравнения при известном частном его решении.

8-9. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Структура базисных решений и общего решения однородного линейного дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.  Характеристическое уравнение. Метод подбора частного решения неоднородного линейного уравнения с квазимногочленом в правой части. Случай резонанса. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного уравнения (на примере дифференциального уравнения второго порядка). Уравнение Эйлера.

10-12. Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши, теорема существования и единственности ее решения. Нормальная система дифференциальных уравнений 1-го порядка, ее геометрическая и механическая интерпретация. Сведение дифференциальные уравнения n-го порядка к системе n уравнений 1-го порядка. Решение системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами путем сведения к одному дифференциальному уравнению n-го порядка. Линейные системы. Линейная система дифференциальных уравнений, ее векторно-матричная запись. Однородная линейная система, линейное пространство ее решений, структура общего решения.

13. Преобразование Лапласа. Определение оригинала, его показатель роста. Теоремы о сложении и умножении оригиналов. Преобразование Лапласа, существование изображения, его область задания. Необходимое условие изображения. Основные свойства преобразования Лапласа: линейность, дифференцирование изображения, дифференцирование оригинала, смещение изображения, сдвиг оригинала. Свертка оригиналов, ее свойства. Теорема умножения изображений. Формула Дюамеля.  Изображение периодического оригинала.

14. Изображение квазимногочлена. Обращение преобразования Лапласа. Обращение дробно-рационального изображения. Случай комплексных корней знаменателя. Применение преобразования Лапласа. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с использованием преобразования Лапласа. Операторный метод решения линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами, связь с характеристическим уравнением матрицы.

15. Применение формулы Дюамеля. Экспонента с комплексным показателем. Формулы Эйлера.  Решение дифференциальных уравнений с правой частью, заданной графически. Решение интегро-дифференциальных уравнений.

16. Точки покоя автономных систем. Стационарная точка автономной системы. Критерий точки покоя. Классификация точек покоя линейной однородной системы двух уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивые и неустойчивые точки покоя. Устойчивость решений. Устойчивые, неустойчивые, асимптотически устойчивые решения системы дифференциальных уравнений. Сведение к устойчивости точки покоя. Достаточное условие устойчивости точки покоя стационарной линейной системы. Понятие о линеаризации системы, исследование на устойчивость по ее линейной части.

17. Функция Бесселя. Решение уравнения Бесселя. Вариационное исчисление. Понятие функционала, его вариация. Постановка задач на нахождение экстремали функционала. Дифференциальное уравнение Эйлера, примеры его использования.

18. Обзорная.

Практические занятия

1. Основные понятия: дифференциальное уравнение; порядок дифференциального уравнения; частное и общее решение. Задача Коши. Геометрический смысл. Исследование полученных решений, их зависимость от начальных данных. Задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения 1-го порядка как поля направлений. Повторение интегрального исчисления.

2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.  Уравнения с разделяющимися переменными. Методика решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, появление особых решений. Приведение геометрических и физических задач к уравнениям с разделяющимися переменными, их решение. Дифференциальные уравнения с однородной правой частью. Сведение к уравнению с разделяющимися переменными, выделение особых решений. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

3. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли. Метод вариации постоянной. Метод Бернулли. Приведение физических и геометрических задач к этим уравнениям. Решение уравнений, приводящихся к линейным.

4. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Решение задач на ортогональные траектории к семейству кривых.

Повторение. Контрольная работа №1. Дифференциальные уравнения высших порядков. Рассмотрение случаев дифференциальных

уравнений, допускающих понижение порядка. Приведение физических и геометрических задач к уравнениям 2-го порядка. Постановка начальных условий, решение начальной задачи, нахождение общего решения.

Контрольная работа №2.

  9. Однородные линейные дифференциальные уравнения. Понижение порядка уравнения при известном частном решении. Решение однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами с помощью характеристического уравнения. Решение физических задач, приводящих к свободным гармоническим колебаниям.

10–12.  Неоднородные линейные уравнения. Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Нахождение частного решения методом вариации произвольных постоянных. Метод подбора частного решения в случае, когда правая часть - квазимногочлен. Случай резонанса. Методы решения систем дифференциальные уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных.

13. Контрольная работа № 3.

14–15. Преобразование Лапласа, его применение. Задачи на свойства преобразования Лапласа. Нахождение изображений и оригиналов с помощью таблицы основных изображений, свертки, разложением на простейшие дроби. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Использование формулы Дюамеля. Операторный метод решения линейной системы с постоянными коэффициентами.

16. Контрольная работа №4.

17. Точки покоя. Исследование точек покоя различных видов для линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами.

18. Прием типового расчета.

Литература.

1. . Сборник задач по дифференциальным уравнениям.

2. . Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению.

3. Сборник задач по математике для втузов. Ч.2. Под общей редакцией и .

4. , . Дифференциальные уравнения. Контрольные задания. М., 2011.

В течение семестра студенты отчитываются по четырем темам:

дифференциальные уравнения первого порядка; дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка; линейные дифференциальные уравнения и системы с постоянными коэффициентами; преобразование Лапласа и его применение к дифференциальным уравнениям.

Тема зачтена, если студент сдал вовремя типовой расчет по пройденной теме и успешно написал контрольную работу. Преподаватель отмечает все сданные типовые расчеты и посещаемость.

Составители: