Тема урока: расстояние между скрещивающимися прямыми

Тема урока: расстояние между скрещивающимися прямыми

Цели урока: изучить определение расстояния между скрещивающимися прямыми, доказать существование  и единственность общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, формировать универсальные учебные действия: умение наблюдать, анализировать, делать собственные умозаключения, правильно формулировать свои мысли.

Ход урока.

Актуализация опорных знаний.

( фронтальная работа с классом)

- сформулируйте определение параллельных прямых в пространстве

- сформулируйте определение  скрещивающихся прямых в пространстве

- теорему о трех перпендикулярах

- как найти расстояние между: 1) точкой и прямой

  2) двумя параллельными прямыми

  3) точкой и плоскостью

  4) двумя параллельными плоскостями?

- сформулируйте аксиомы С2 и С3 стереометрии.

- сформулируйте теорему о принадлежности прямой плоскости

- определение перпендикулярных прямой и плоскости

- признак перпендикулярных прямой и плоскости.

2. Проверка домашнего задания (устное решение задач по готовым чертежам)

№1. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1.  А1В1=6, А1А=8. Найти расстояние от вершины А до стороны В1С1.

№2.Найти расстояние  между боковыми гранями прямоугольного параллелепипеда, если ВС=6, АB=5.

2. Постановка проблемы.

Классу предлагается решить задачи: ( решают на листочках, собираю, первый вариант – обсуждение, выступление учащихся, второй вариант - я сама «просматриваю»  листочки,  на заготовленных чертежах показываю различные варианты решения) / два чертежа на центральной  доске/

№1. Найти расстояние между прямыми АБ1 и ДС1, если АБ=3, БС=4.

№2Ребра  прямоугольного параллелепипеда соответственно равны  3см, 5см и 10 см. Найти расстояние между диагоналями боковых граней А1Б и ДС1.

- итак, задача одна, а решений несколько. В чем тут проблема?

- чем задача №2 отличается  от задачи №1?

- Чего мы с вами еще не умеем делать?

- как можно сформулировать тему нашего урока?

( на доске вывешивается тема урока, дети записывают ее в тетрадь)

Решение проблемы (подводящий диалог, работа с каркасными моделями) давайте проведем небольшое исследование, чтобы ответить на вопрос, как найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Для этого 

рассмотрим  более простую модель, а к этой задаче вернемся чуть попозже. 

- перед вами равнобедренный треугольник и перпендикуляр, восстановленный к его плоскости через  вершину  угла. Предложите свои методы нахождения расстояния между  основанием треугольника  и перпендикуляром к плоскости треугольника.

( учитель выслушивает предложения ребят, при необходимости предлагает «свой метод»)

- выберу на одной из скрещивающихся прямых произвольную точку

- опущу из этой точки перпендикуляр на другую прямую. При этом использую теорему о трех перпендикулярах.

- будет ли построенный отрезок искомым расстоянием?

В случае утвердительного ответа:

-  Выберу на этой же прямой любую другую точку. Из этой точки тоже опущу перпендикуляр на гипотенузу.  Длину этого отрезка, следуя такой логике, тоже можно считать искомым расстоянием. Но она совершенно другая по сравнению с первым отрезком. В чем тут дело?  Где ошибка в наших рассуждениях? (построенный отрезок должен быть перпендикулярен обоим прямым)

- покажите нужный отрезок на модели. Докажите его перпендикулярность обоим скрещивающимся прямым.

- сформулируйте определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

- можно ли назвать расстоянием между данными скрещивающимися прямыми длину вот этого отрезка?  Он тоже перпендикулярен каждой из прямых.

- как надо подкорректировать наше определение? Где должны находиться концы общего перпендикуляра к прямым?

А теперь давайте вернемся к нашей задаче.  Мы выяснили, что расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра.  На нашей модели  мы его легко нашли. А где будет общий перпендикуляр у этих двух прямых? 

- А если я изменю положение одной из прямых? (Работа с моделью куба)

Вообще, давайте рассмотрим две  произвольные скрещивающиеся прямые и попытаемся выяснить: всегда ли можно построить общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым? 

. - Общий перпендикуляр – это отрезок.  Мы можем попытаться построить прямую, на которой будет находиться этот перпендикуляр.

- каким образом мы можем получить прямую в пространстве?

Какие геометрические объекты при пересечении  дают прямую?

Вспомните вторую аксиому стереометрии.

- итак, мы должны построить две плоскости.

- каким образом мы можем это сделать?

( если не названа перпендикулярность, моделирую контр пример)

- Итак, подведем итог: как построить общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. ( Просмотр фрагмента презентации)

А сейчас постарайтесь кратко описать это построение в тетрадях.  Можно работать парами. После окончания работы один ребенок диктует  свое описание, а я записываю  его на доске, или я открываю обратную сторону доски, а они проверяют, или используем презентацию.

А теперь, внимание, чертёж!  Проанализируйте его. Что вы видите?  Как  вы думаете, может ли быть два общих перпендикуляра  у скрещивающихся прямых?

Работаем в парах. Докажите единственность общего перпендикуляра.

Кому трудно, можете воспользоваться вопросами, которые лежат у вас на партах./ после окончания работы  один человек доказывает единственность возле доски/

Подведение итогов урока.

Какие вопросы мы сегодня исследовали на уроке?

Оцените степень усвоения вами нового материала  по пятибалльной системе. Поставьте свою отметку на листочке. Фамилию можно не подписывать.

А сейчас сделайте в тетрадях чертеж представленной модели.

Составьте по чертежу три задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Необходимые числовые данные и буквенные обозначения  придумайте самостоятельно.

Каким методом доказательства целесообразно воспользоваться? Каково взаимное расположение отрезков А1В1  и АВ? Находятся ли они в одной плоскости? Почему? Сколько точек, принадлежащих прямой а, находится в этой плоскости? Что можно сказать о расположении прямой а? Сколько точек, принадлежащих прямой в, находится в этой же плоскости? Что можно сказать о расположении прямой в? Какое противоречие мы получаем?

Каким методом доказательства целесообразно воспользоваться? Каково взаимное расположение отрезков А1В1  и АВ? Находятся ли они в одной плоскости? Почему? Сколько точек, принадлежащих прямой а, находится в этой плоскости? Что можно сказать о расположении прямой а? Сколько точек, принадлежащих прямой в, находится в этой же плоскости? Что можно сказать о расположении прямой в? Какое противоречие мы получаем?

Каким методом доказательства целесообразно воспользоваться? Каково взаимное расположение отрезков  А1В1  и АВ? Находятся ли они в одной плоскости? Почему? Сколько точек, принадлежащих прямой а, находится в этой плоскости? Что можно сказать о расположении прямой а? Сколько точек, принадлежащих прямой в, находится в этой же плоскости? Что можно сказать о расположении прямой в? Какое противоречие мы получаем?

Каким методом доказательства целесообразно воспользоваться? Каково взаимное расположение отрезков  А1В1 и АВ? Находятся ли они в одной плоскости? Почему? Сколько точек, принадлежащих прямой а, находится в этой плоскости? Что можно сказать о расположении прямой а? Сколько точек, принадлежащих прямой в, находится в этой же плоскости? Что можно сказать о расположении прямой в? Какое противоречие мы получаем?