Применение методов Тихоновской регуляризации при решении задач моделирования дифракции света на субволновых покрытиях
Российский Университет Дружбы Народов, *****@***com
В работе рассматривается численная реализация классического алгоритма Тихоновской регуляризации [1] в применении к решению плохо обусловленных СЛАУ.
Ключевые слова: регуляризация Тихонова, устойчивое решение СЛАУ, Fortran, обратные задачи оптики.
Введение
Моделирование дифракции света на оптических структурах, характерные размеры которых сравнимы с длиной световой волны, является актуальной задачей в настоящее время. Она находит своё применение в таких областях как телекоммуникации, медицина и другие. Например, создание жидкокристаллических дисплеев (в том числе в том числе 3D), оптических запоминающих устройств (Blu-ray), напрямую связано с решением этой задачи.
Тихоновская регуляризация в задачах моделирования дифракции
Моделирование дифракции света на устройствах микрооптики связано с необходимостью применения векторной электромагнитной теории Максвелла. Для решения прикладных задач необходимо знать начальные условия системы уравнений и иметь информацию о геометрических и оптических компонентах системы. Обычно рассматривают многослойные системы из плоскопараллельных слоев. К геометрическим свойствам можно отнести толщину каждого слоя и его рельеф, а к оптическим тензор диэлектрической проницаемости каждого слоя.
Система уравнений Максвелла может принимать различный вид в зависимости от характера световой волны, ее поляризации и свойств оптической структуры. Для каждого случая используется свой метод решения задачи дифракции. Среди известных отметим матричные методы [4] и методы, приводящие к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд электромагнитного поля. Если слои системы однородные, то задача сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений 
, а если периодические, то возникает необходимость в решении бесконечномерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
В процессе реализации вычислительных алгоритмов на ЭВМ возникает необходимость проверять полученное решение на устойчивость [2] и гарантированно получать устойчивое решение для различных наборов исходных данных. Для этого необходимо применять методы регуляризации, одним из которых является Тихоновская регуляризация [1]. Стоит отметить, что применение регуляризации особенно актуально для задач дифракции на периодических структурах, когда для решения бесконечномерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами используют такие методы как метод Галеркина или метод Ритца.
Особый прикладной интерес имеют обратные задачи оптики - задачи математического синтеза оптических структур с заданными спектральными характеристиками и задачи определения свойств материалов по наборам экспериментальных данных. Такие задачи изначально являются математически некорректными [2], так как при решении подобных задач одному и тому же набору входных данных может соответствовать бесконечное число решений или решений может вообще не быть. Также часто встречается ситуация, когда решение не соответствует физическим свойствам исследуемого объекта. Например, желаемой отражательной способности системы может соответствовать бесконечное число наборов слоёв данной системы, а также бесконечное количество комбинаций свойств материалов данных слоев. Причем не исключаются случаи, когда смоделированную оптическую структуру не получится изготовить ввиду слишком малых толщин её слоёв или набора специфичных характеристик материалов, получившегося при решении. При решении задачи восстановления оптических свойств (например, диэлектрической проницаемости по спектрофотометрическим данным) часто возникает ситуация, когда полученная функция не аналитична, что не соответствует физической природе диэлектрической проницаемости. Для устранения этих недостатков предлагается применять Тихоновскую регуляризацию. Основной идеей метода является добавление к исходному минимизируемому функционалу некой «штрафной» функции, которая выбирается из специфики поставленной задачи и выбор основывается на каких-то априори известных данных. Например, общая толщина системы должна быть не более 
нм, а толщина каждого слоя не может быть менее 
нм.
Применяя данный подход, можно получать устойчивые решения задач математического синтеза оптических структур, которые в дальнейшем могут быть использованы как исходные данные для изготовления данной оптической системы.
Если рассматривать задачу восстановления оптических свойств материалов, то для определения добавочной функции можно использовать то свойство диэлектрической проницаемости, что она должна удовлетворять соотношениям Крамерса - Кронига. Это позволит стабилизировать решение таким образом, чтобы на выходе получить аналитическую функцию.
В подавляющем большинстве случаев численное решение прямых и обратных задач моделирования дифракции света на устройствах микрооптики сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому в работе рассматривалось применение Тихоновской регуляризации к решению плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений.
Выводы
В ходе работы была произведена численная реализация классического алгоритма Тихоновской регуляризации [2] в применении к решению плохо обусловленных СЛАУ. Созданы программные модули на языке Fortran 90 и проведены серии численных расчетов.
Литература
1. , Арсенин решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979.
2. Морозов методы решения некорректно поставленных задач. — М.: Наука, 1987.
3. Севастьянов методы и алгоритмы расчета обратных задач в моделях оптических структур. М.: РУДН, 2008.
4. Berreman D. W. Optics in Stratified and Anisotropic Media: 4x4-Matrix Formulation // Journal of the optical society of America, vol. 62, 1972, №4.
Application of the methods of Tikhonov regularization for the solution of the diffraction of light on the subwave coverage problems
Savin A. S.
Russian University Of Peoples Friendship, *****@***com
In the present article the numerical implementation of the classical algorithm of Tikhonov regularization in the application for the solution of systems of linear equations is considered.
Key words: Tikhonov regularization, stable solution of systems of linear equations, Fortran, inverse optics problem.
