Теория вероятности

Теория вероятности.

В партии из N = 32 изделий n = 8 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад m = 5 изделий k = 3 изделий являются дефектными?

Решение:

Имеем неупорядоченную выборку без повторений.

По классической формуле искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

Ответ:

В магазине выставлены для продажи n = 26 изделий, среди которых k = 6 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом m = 2 изделий будут некачественными?

Решение:

Имеем неупорядоченную выборку без повторений.

По классической формуле искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

Ответ:

На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: n1 = 15 с первого завода,
n2  = 35 со второго,  n3 = 50 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе p1 = 0,8, на втором p2 = 0,9, на третьем p3 = 0,8. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

Решение:

Вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным найдем по формуле полной вероятности:

где – вероятности гипотез, что взятое случайным образом изделие поступило с первого, второго или третьего завода соответственно.

Из условия, по классической формуле вероятности определяем:

Тогда искомая вероятность равна:

Ответ:

Дано распределение дискретной случайной величины Х.

Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

Xi	2	4	8
Pi	0,1	0,4	0,5

       

Решение:

1) Математическое ожидание дискретной случайной величины:

2) Дисперсия:

3) среднее квадратическое отклонение:

  5. В городе имеются N=2 оптовых баз. Вероятность  того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах одинакова и равна p=0,21. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент. 

Решение:

Введем дискретную случайную величину Х, равную количеству оптовых баз, на которых отсутствует товар требуемого сорта.

Она распределена по биноминальному закону с параметрами n = 2 – число баз, р = 0,21 – вероятность отсутствия товара на базе и может принимать значения 0, 1, 2. Найдем соответствующие вероятности по формуле Бернулли:

Получаем:

Закон распределения Х имеет вид:

Xi	0	1	2
Pi	0,6241	0,3318	0,0441

Контроль:

  6. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание Mx=52, среднее квадратичное отклонение x=4. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (a=50,b=55).

Решение:

Воспользуемся формулой:

По условию

Таким образом,

так как функция Лапласа нечетная, то поэтому

По таблице значений функции Лапласа находим

Таким образом, искомая вероятность

  7. Найти линейную среднюю квадратичную регрессию случайной величины Y на случайную величину X  на основе заданного закона распределения двумерной случайной величины.

Х Y	6	9	12
5 9	0,23 0,17	0,07 0,20	0,15 0,18

Решение:

Найдем законы распределения Х и Y.

Возможные значения случайной величины  X – это числа 6, 9 и 12. Вероятности:

p{X = 6} = p{X = 6;Y = 5} + p{X = 6;Y = 9} =

= 0,23+0,17=0,40;

p{X = 9} = p{X = 9;Y = 5} + p{X = 9;Y = 9} =

= 0,07+0,20=0,27;

p{X = 12} = p{X = 12;Y = 5} + p{X = 12;Y = 9} =

= 0,15+0,18=0,33;

Для случайной величины X получаем распределение

Х	6	9	12
Р	0,40	0,27	0,33

Ряд распределения компоненты Y получаем аналогично. Возможные значения случайной величины Y – это 5 и 9. Соответствующие им вероятности равны:

p{Y = 5} = p{X = 6;Y = 5} + p{X = 9;Y = 5} + p{X = 12;Y = 5} =

= 0,23 + 0,07 + 0,15 =0,45;

p{Y = 9} = p{X = 6;Y = 9} + p{X = 9;Y = 9} + p{X = 12;Y = 9} =

= 0,17 + 0,20 + 0,18 =0,555;

Окончательно получаем:

Y	5	9
Р	0,45	0,55

Из таблиц распределения случайных величин X и Y находим:

Для нахождения коэффициента корреляции Х и Y выполним ряд вспомогательных расчетов:

Уравнение линейной среднеквадратической регрессии случайной величины Y на случайную величину Х имеет вид:

откуда находим

Математическая статистика.

Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, где mi – частота попадания вариант в промежуток ().

i	Интервал	Частота попадания в промежуток
	mi
1	15 – 30	8
2	30 – 45	16
3	45 – 60	12
4	60 – 75	4
5	75 – 90	10
∑	–

Решение:

Производим расчет относительных частот

i	Интервал	Частота попадания в промежуток	Относительная частота
	mi	ni
1	15 – 30	8	8/50 = 0,16
2	30 – 45	16	16/50 = 0,32
3	45 – 60	12	12/50 = 0,24
4	60 – 75	4	4/50 = 0,08
5	75 – 90	10	10/50 = 0,2
∑	–	50

По данным таблицы строим гистограмму:

2. Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки.

Хi	10	16	26
ni	14	18	18

Решение:

Составляем расчётную таблицу:

i	xi	ni	xini
1	10	14	140	878,17
2	16	18	288	66,36
3	26	18	468	1175,16
∑	–	50	896	2119,68

Среднее значение Х:

Выборочная дисперсия:

Несмещённая дисперсия:

3. Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение
а0 = 70является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при - м уровне значимости для двусторонней критической области, если в результате обработки выборки объема
получено выборочное среднее , а выборочное среднее квадратичное отклонение равно s1 = 6.

Решение:

Требуется проверить гипотезу о числовом значении математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной генеральной дисперсии. В этом случае в качестве критерия выберем функцию

где  - выборочная средняя, - математическое ожидание, S – выборочное среднее квадратичное отклонение (в табл.).

Случайная величина Т имеет t-распределение (распределение Стьюдента) с к = n −1 степенями свободы.

Требуется найти критическую область для нулевой гипотезы :
= 70

При альтернативной гипотезе H1: ≠ 70.

Найдем наблюдаемое значение критерия

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости б = 0,05 и числу степеней свободы:

к = n −1 =10 −1 = 9

находим критическую точку  tдвустор. кр (0,05;9) = 2,26.

Получаем что

|0,22| <  2,26.

Так как |Tнабл| < tдвустор. кр, то нулевую гипотезу нет причин отвергать.

  4.При уровне значимости б= 0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин X и Y на основе  выборочных данных при альтернативной гипотезе H1:  ≠ .

X	Y
xi	ni	yi	mi
71	4	68	10
73	5	69	14
75	8	70	13
79	10	74	12
80	3	78	11

Решение:

Для упрощения вычислений перейдем к условным вариантам:

ui = xi − 75 (по 3 строке),

vi = yi − 70 (по 3 строке)

Получим распределение условных вариант.

X	У
xi	ni	ui	yi	mi	vi
71	4	−4	68	10	−2
73	5	−2	69	14	−1
75	8	0	70	13	0
79	10	4	74	12	4
80	3	5	78	11	8

Найдем и ,

n = 4 + 5 + 8 + 10 + 3 = 30,

m = 10 + 14 + 13 + 12 + 11 = 60:

Найдем исправленные выборочные дисперсии по формулам:

Учитывая, что <  определим

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид у2 (x) ≠ у2 (y) поэтому критическая область двусторонняя. По таблице критических точек F Фишера-Снедекора по уровню значимости  и числам степеней свободы

k1 = n −1 = 30 −1 = 29 и k2 = m −1 = 60 −1 = 59.

Находим критическую точку Fкр = 1,695 т. к.  Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

  5. Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y и X на основании корреляционной таблицы.

X Y	5	10	15	20	25	30	35
5	10	3	5	1	4
15	4	10	2	8
25	3	4	6	6
35	4	7	1	5
45	2	5	10

Решение:

Для упрощения расчетов введем условные варианты.

  и  ,

C1 и C2  - ложные нули (выбираемые значения), h1 и h2 – разности между соседними значениями Х и Y.

Примем:

C1 = 20 (по 4му значению Х), h1 = 5,

C2 = 35 (по 3му значению Y), h2 = 10,

Тогда:

и

Составим корреляционную таблицу:

	-3	-2	-1	0	1	2	3	nv
-2	10	3	5	1	4	23
-1	4	10	2	8	24
0	3	4	6	6	19
1	4	7	1	5	17
nu	13	8	13	15	9	10	15	n = 83

Составим новую таблицу с учетом значений nх и ny  для значений и , при этом

При правильных вычислениях должно выполнить равенство:

	-3	-2	-1	0	1	2	3	nv
-2	-30   10 -20	-3   3 -6	0   5 -10	2   1 -2	12   4 -8	23	-19	38
-1	-8   4 -4	-10   10 -10	2   2 -2	16   8 -8	24	0	0
0	-9   3 0	-8   4 0	0   6 0	18   6 0	19	1	0
1	0   4 4	7   7 7	2   1 1	15   5 5	17	24	24
nu	13	8	13	15	9	10	15	n = 83	У=62
	-20	-4	-16	-6	5	-9	-3
	60	8	16	0	5	-18	-9	У=62

В нашей таблице суммы равны между собой, значит вычисления произведены верно.

Найдем и :

Найдем вспомогательные величины и :

Найдем и :

Выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле:

Для обратного перехода применяем выражения:

 

где   и – средние значения условных вариант.

Подставим:

 

Подставим найденные значения в уравнения линейной регрессии.

Выборочное уравнение линейной регрессии Y на X:

6. При уровне значимости б = 0,05 методом дисперсионного анализа проверить нулевую гипотезу о влиянии фактора на качество объекта на основании пяти измерений для трех уровней фактора.

Номер измерения	Ф1	Ф2	Ф3
1	24	32	30
2	28	42	16
3	40	30	9
4	56	18	16
5	24	24	10

Решение:

Составим дисперсионную таблицу:

i	Ф1	Ф2	Ф3	Сумма
1	24	576	32	1024	30	900
2	28	784	42	1764	16	256
3	40	1600	30	900	9	81
4	56	3136	18	324	16	256
5	24	576	24	576	10	100
	148	114	51	313
	6672	4588	1593	12853
	21904	12996	2601	37501

Найдем общую и факторную суммы квадратов отклонений, учитывая, что число уровней фактора  p = 3, число испытаний на каждом уровне q = 5.

Получаем:

Найдем остаточную сумму квадратов отклонений:

Найдем дисперсии:

Сравним факторную и остаточную дисперсию с помощью критерия Фишера-Снедекора.

Найдем наблюдаемое значение критерия

По числу степеней свободы k1 = 2, k2 = 12 и по уровню значимости
б = 0,05 находим критическую точку Fкрит = 3,88. Так как  Fнабл < Fкрит, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о влиянии фактора на качество объекта.