Задания №25,второй части ГИА

Задания №25,второй части ГИА. 

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное	3
Доказательство содержит неточности	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

Вариант №1

Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

       В        

       К                L

               

       А                О        С

Решение.

Углы АОВ и СОВ – смежные, следовательно, угол АОВ + угол СОВ  = 180 градусов.

ОK – биссектриса угла АОВ, следовательно, угол АОК = углу ВОК =  угла АОВ

OL – биссектриса угла СОВ, следовательно, угол COL = углу BOL =  угла СОВ

Угол KOL = углу KOB + угол BOL = = ( угол AOB + угол COB ) – 90 градусов Что и требовалось доказать.

Вариант №7

Отрезки АС и BD пересекаются в точке О, АО = ОС и угол А = углу С. Докажите равенство треугольников АОВ и СОD.

       В                С

       1        О        2

               

       А        D

Решение.

АО = ОС ( по условию )

Угол А = Углу С ( по условию )

Угол 1 = углу 2 ( как вертикальные )

Следовательно,  равны по стороне и 2 прилежащим углам.

Что и требовалось доказать.

Вариант №12

Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.

       В        С

А

       А        D        

  Решение.

Рассмотрим  АВС и  АОС :

АС – общая ВС = АD ( как противолежащие стороны параллелограмма ) АВ = CD ( как противолежащие стороны параллелограмма )

Следовательно  = по 3 сторонам

Что и требовалось доказать.

Вариант №21

Докажите, что если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 градусов.

  В

                       

        А                        

  D  C

  Решение.

Угол А = дуги DB ( по свойству вписанных углов )

Угол С = дуги BD

Угол А + угол С = угол BAD + угол BCD = дуги DB + дуги ВD = ( дуга DB + дуга BD ) =   * 360 = 180 градусов.

Что и требовалось доказать.

Вариант №28

Последовательно соединили отрезками середины сторон четырехугольника. Докажите, что получившаяся фигура – параллелограмм.

        N  C

        В                

  M

  K

        A        

  E         D

Решение.

Проведем диагональ АС, она раздели ABCD на 2

  АВС и  АCD

MN – Средняя линия  АBC

Следовательно, MN || AC и MN =   AC

KE – Средняя линия  ACD

Следовательно, KE || AC и KE = AC

Получается,  что MN || KE ( так, как они оба || AC )

Следовательно, KE = MN = AC

Следовательно, ABCD  - параллелограмм ( так как у него 2 противолежащие стороны ||  и  равны )

Что и требовалось доказать.

Вариант №30

Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

  С        

        A  В  B

Решение.

Впишем в окружность  ,у которого 1 сторона является диаметром

Угол С опирается на пол окружности

Угол С = 90 градусов

ОА, ОВ, ОС – радиус

Следовательно, медиана СО = половине гипотенузы АВ

Что и требовалось доказать.