Волновые процессы

ЛЕКЦИЯ 3

5.1 Волновые процессы.

5.1.1 Основные понятия.

Колебания, возбуждаемые в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются  в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой.  Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Фазы колебаний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При изучении распространения колебаний среда рассматривается  как сплошная, т. е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами. 

Периодический во времени и в пространстве процесс распространения колебаний, происходящий с определённой для данной среды скоростью, называется волновым процессом или волной. Основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Продольной называется волна, при которой колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Волна -  поперечная, если колебания частиц среды происходят в плоскостях перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации растяжения или сжатия, т. е. в твердых, жидких или газообразных телах. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. фактически только в твердых телах.

В жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах - как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис.19 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью  v вдоль оси Х, т. е. приведена зависимость между смещением о частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием Х этих частиц (например частицы В) от источника колебаний 0 для какого-то фиксированного момента времени t. 

Волна может распространяться в виде одиночного импульса (одиночной волны), если возмущение в среде однократное, а также в форме волнового поля, заполняющего всё пространство, если источник действует непрерывно. Ограниченный ряд повторяющихся возмущений называется цугом волн. Обычно понятие цуга относится к волне в виде отрезка синусоиды (косинусоиды). 

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В зависимости от формы волновых поверхностей волна может быть плоской, сферической, цилиндрической и т. д.

Фронтом волны называется граничная волновая поверхность, до которой волна дошла в данный момент времени.

Линии, перпендикулярные фронту волны, указывающие направление её распространения, называются лучами.

Наименьшее расстояние между двумя ближайшими волновыми поверхностями, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны.

Время, за которое совершается один полный цикл колебаний (волна распрост­раняется на расстояние,  равное длине волны), называется периодом.  Длина волны λ связана с периодом Т соотношением:

  λ = v Т.  (95) 

Частотой волны н (линейной частотой) называют число колебаний, совершаемых в единицу времени:

  н = 1 / Т  (96)

Линейная частота и период связаны с циклической частотой щ соотношением:

  щ = 2 р н = 2р / Т  (97)

Линейная и циклическая частоты характеризуют периодичность волнового процесса во времени. Пространственную периодичность волнового процесса характеризует волновое число Волновое число  это вектор, численно равный количеству длин волн, укладывающихся на расстоянии 2р  метра. Направление волнового вектора совпадает с направлением скорости волны:

Модуль волнового вектора равен:

  k = = = .  (98)

Из уравнений (95) - (98) следует, что:

    (99)

В формулах (95),  (98), (99)  v - фазовая скорость, это скорость распространения фазы колебаний. Исходя из принципа суперпозиции, согласно которому волны от различных источников, накладываясь  друг на друга, не изменяют друг друга, любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т. е. в виде волнового пакета или группы волн. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства. Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспер­гирующей средой. Если среда не обладает дисперсией, то при распространении волнового пакета его форма сохраняется и быстроту распространения волн можно характеризовать фазовой скоростью. Но, если среда обладает дисперсией, то волновой пакет при распространении меняет свою форму, "расплывается", и характеризовать быстроту волнового процесса фазовой скоростью невозможно. В таком случае применяется групповая скорость - это скорость перемещения максимума группы волн («пакета»). Она соответствует скорости переноса энергии волны. Групповая скорость  u  связана с фазовой скоростью v  соотношением:

  u = х - л  (100)

При отсутствии дисперсии  dх / dл = 0  и  u=х.

5.1.2 Уравнение бегущей волны.

Бегущими волнами  называются волны, которые переносят в пространстве энергию.  Независимо от физической природы все волны подчиняются одинаковым закономерностям и описываются одинаковыми математическими уравнениями.

Для описания колебания точек среды в любой момент времени при распространении волны вводится волновая функция ξ (r, t), являющаяся  функцией координат и времени. Выражение, определяющее эту функцию, и есть уравнение волны.  Для вывода уравнения бегущей волны  рассмотрим простейший случай: плоская волна, распространяется вдоль оси х. Источник колебаний находится в точке х = 0  (рис.19)  и колеблется по гармоническому закону:

  ξ (0,t) =  A(0) cos ω t.  (101)

Частица В среды колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на время τ, необходимое для прохождения волной расстояния х : τ = х/v, где v - скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид 

  ξ (x, t) = A cos ω ( t - x/v ).  (102)

Уравнение (102) и есть уравнение бегущей плоской гармонической волны. Если в среде не происходит потери энергии волны за счёт её поглощения, то амплитуда плоской волны А остаётся постоянной: А(0) = А(х). В уравнении (102) начальная фаза колебаний источника волн принята за 0. Если плоская гармоническая волна распространяется против оси х, то её уравнение имеет вид:

  ξ (x, t) = Acosω ( t + x/v )  (103)

Уравнение (102) можно преобразовать, используя выражение (98):

  ξ (x, t) = Acos(ω t – k x) =  Acos(ω t –2р x/л)          (104)

Уравнение  сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, имеет вид:

  ξ (x, t) = cos(ωt –kx),  (105)

Из уравнения сферической волны следует, что её амплитуда даже при отсутствии поглощения средой убывает с расстоянием по закону 1/х. Уравнение (105) справедливо лишь  для х, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Рассмотренные уравнения описывают как продольные, так и поперечные волны.

5.1.3 Дифференциальное уравнение волны (волновое уравнение)

Дифференциальное уравнение, решением которого является уравнение волны, называется волновым уравнением. Для его получения необходимо взять частные производные второго порядка по координатам и времени от функции (104). Для гармонической волны, распространяющейся вдоль оси х, получим волновое уравнение в виде:

= х2 ,

где х = щ/k.

Если волна распространяется вдоль некоторого направления , то  волновое уравнение примет вид:

  = х2До,  (106)

где    - оператор Лапласа.

Волновое уравнение (106) справедливо для любых волн, распространяющихся в однородной изотропной непоглощающей среде.

5.2 Энергия волны

Пусть плоская незатухающая гармоническая волна распространяется вдоль оси х. Её уравнение имеет вид (104):

ξ (x, t) = Acos(ω t – k x).

Распространение волны сопровождается переносом энергии без переноса вещества. Полная энергия частиц среды, в которой распространяется волна, равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

  Wк  +  Wп = W  (107)

Рассмотрим объём среды ДV,  возбуждаемый волной. Если плотность среды ρ , то масса рассматриваемого объёма Дm = сДV.  Определим кинетическую энергию частиц  рассматриваемого объёма:

  Wк  = т х2 = = с щ2 A2 sin2 (щt - kx) ДV.  (108)

Потенциальная энергия равна работе по упругой деформации среды. Можно показать, что она равна кинетической энергии и также определяется формулой (108). Тогда  полная  энергия,  переносимая  волной  через  объём ДV,

равна 2 Wк :

  W =  с щ2 A2 sin2 (щt - kx) ДV.  (109)

Таким образом, в каждом элементе объёма, охваченного волновым движением Wк и  Wп  являются одинаковыми функциями времени, соответственно и W изменяется с течением времени по такому же закону (сравнить: полная энергия гармонических колебаний не зависит от времени). Эта закономерность справедлива для любых бегущих волн в упругой среде независимо ни от формы их волновых поверхностей, ни от типа деформации среды. 

Под объёмной плотностью энергии w упругих волн понимают механическую энергию единицы объёма среды, обусловленную распространением этих волн:

  w = W/ ΔV = с щ2 A2 sin2 (щt - kx)  (110)

Потоком энергии ФW  через какую-либо площадь S называется величина, численно равная энергии, переносимой волной через эту площадь в единицу времени:

  ФW = W / Дt = wи S,  (111)

где  и  - групповая скорость.

Плотностью потока энергии или вектором Умова называется векторная величина, численно равная энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, , её модуль равен:

j = W/ΔS⋅Δt = w и = с щ2 A2 и sin2 (щt - k x)

    (112)

Среднее по времени значение модуля плотности потока энергии называется интенсивностью волны J:

  J=|<j>|= |<w>| u =  (113)

Таким образом, интенсивность волны пропорциональна квадрату её амплитуды.

Единицы энергетических характеристик волны:

[w] = [Дж/м3];  [ФW] = [Дж/с)];  [ j ] =  [J ] =  [Дж/(м2 .с)]

5.3 Интерференция волн

Рассмотрим случай наложения синусоидальных волн, возбуждаемых в однородной и изотропной среде различными источниками. Ограничимся случаем одновременного распространения двух синусоидальных волн, соответствующих одинаково направленным колебаниям частиц среды.

Пусть в точку М пространства приходят две такие волны от точечных

источников S1 и S2:

  о1 =

  о2 =

По принципу суперпозиции результирующее колебание в точке М будет:

о = о1  +  о2 = А sinц.

Как было показано ранее (см. сложение одинаково направленных колебаний) амплитуда результирующего колебания определяется из соотношения:

                            (114)

Из формулы (196) следует, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз Дц = ц2 - ц1  складываемых волн в точке М:

Дц = - =  ( щ2 - щ1 ) t -   (115)

Особый интерес представляет наложение когерентных волн. Когерентными называются волны, частоты которых равны, а разности фаз постоянны или равны нулю. Явление наложения когерентных волн называется интерференцией.

Если рассматриваемые волны  когерентны, то  щ1 = щ2  и 

  ц2 - ц1 =  ,  (116) 

где ∆r - разность хода рассматриваемых волн от их источников до точки М.

Из выражения (198) следует, что  ∆ц  для данной точки пространства величина постоянная. Следовательно, амплитуда колебаний в данной точке пространства также постоянна и в зависимости от ∆ц может принимать значения в пределах: 

| А1 - А2  | ≤  А  ≤  ( А1 + А2 )

В тех точках пространства, для которых выполняется условие

  ∆ц = 0, 2р, 4р, 6р,…,  т. е.  2тр

или                                                                                                 (117)

  ∆r = 0, л, 2л, 3л,…,  т. е  тл,  ( т = 0, 1, 2, 3, …)

амплитуда  колебаний  будет максимальна и  выражения  (199)  называются

условием максимума при интерференции.

В тех точках пространства, для которых выполняется условие

  ∆ц = р, 3р, 5р,…,  т. е.  (2т +1)р

или  (118)

  ∆r =  л/2, 3л /2, …,  т. е  (2т +1)л /2 ,  ( т = 0, 1, 2, 3, …)

амплитуда колебаний будет минимальна и выражения (118) называются условием минимума при интерференции.  Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, то в точках максимума и минимума будут наблюдаться соответственно максимумы или минимумы интенсивности результирующей волны.  Таким образом, при интерференции происходит перераспределение интенсивности волн в пространстве: в одних точках волны взаимно усиливают друг друга, в других - взаимно ослабляют. Наблюдающееся распределение интенсивности волн в пространстве называется интерференционной картиной.

Если волны некогерентны, то в данной точке пространства ∆ц ≠const  и принимает  различные  значения от  0  до  р,  cos∆ц  с  равной  вероятностью

принимает значения от  -1 до  +1  и  А2 = А1 2 + А2 2. Таким образом, при наложении некогерентных волн во всех точках пространства интенсивность результирующей волны будет равна сумме интенсивностей складываемых волн.

5.3.1 Стоячие  волны

Особым случаем интерференции являются стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с оди­наковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и с одинаковой поляризацией. Стоячая волна может быть получена при отражении бегущей волны от препятствия и наложении отражённой волны на бегущую.

Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны рас­пространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид:

  ξ (x, t) = Acos(ω t – k x)

  ξ (x, t) = Acos(ω t+ k x).  (119)

Сложив эти уравнения и учитывая, что k= 2π/λ, получим уравнение стоячей волны:

  о = о1  +  о2 =2 А coskx cosωt = 2А cos(2рx/л) cosωt  (120)

Из уравнения стоячей волны (120) вытекает, что  все точки стоячей волны колеблются с разными амплитудами Аст = |2Acos(2πx/λ)|,  зависящими от координаты х рассматриваемой точки.  В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе (в уравнении  бегущей волны фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки), все точки стоячей волны между  двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами  ( в уравнении  стоячей волны аргумент косинуса не зависит от х). При переходе через узел множитель 2Acos(2πx/λ) меняет свой знак,  поэтому фаза колебаний  по  разные  стороны от узла отличается на  π,

т. е. точки, лежащие по разные стороны  от узла,  колеблются в противофазе.

В точках среды, где

  2π x/λ = ±mπ         (m = 0, 1, 2, ...),  (121)

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А.

В точках  среды, где

          2πx/λ= ±(2m+1) (m = 0, 1, 2, ...)  (122)

амплитуда колебаний обращается в нуль.  Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (Аст=2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда  колебаний равна нулю (Аст=0), называются узлами стоячей волны. Точки среды,  находящиеся в узлах, колебаний не совершают.  Из выражений (121) и (122) получим соответственно координаты пучностей и узлов:

       

  хпуч = ± m ,         (m = 0, 1, 2, ...) (123)

        хузл = ±(2m+1).  (m = 0, 1, 2, ...)  (124)

Из формул (123) и (124) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями  и двумя соседними узлами одинаковы и равны л/2. Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны  равно л/4.

Рассмотрим пример образования стоячей волны. Если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте крепления  веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае возникает  узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникает пучность (рис.21, а), если более плотная - узел (рис.21, б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную. У границы происходит сложение колебаний  с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит, и  колебания складываются с одинаковыми фазами - образуется пучность. Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей  волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные и превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.

5.4 Некоторые свойства электромагнитной волны

Электромагнитные волны представляют собой распространяющееся в пространстве и во времени электромагнитное поле. Электромагнитные волны поперечны – векторы и перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (рис. 46).

Так как векторы , и образуют правовинтовую тройку векторов, то их взаимная ориентация подчиняется правилу:

Для электромагнитной волны справедливы все формулы, закономерности и соотношения, которые были отмечены ранее для волновых процессов. Поэтому, согласно выражению (105), уравнение синусоидальной плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль направления , можно записать в виде:

  Е (r, t) =Е0 cos(ω t – kr)

  (125)

  Н (r, t) =Н0 cos(ω t – kr)

Волновое уравнение такой электромагнитной волны имеет вид:

  = х2 ,

  (126)

  = х2 ,

где х - фазовая скорость электромагнитной волны. С помощью уравнений Максвелла было показано, что электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью, определяемой по формуле:

  .  (127)

Здесь ε  и  μ  – диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, ε0 и μ0 – электрическая и магнитная постоянные:

ε0 = 8,85419·10–12 Ф/м,  μ0 = 1,25664·10–6 Гн/м.

Скорость электромагнитных волн в вакууме (ε = μ = 1):

.

Скорость c распространения электромагнитных волн в вакууме является одной из фундаментальных физических постоянных. Равенство скорости распространения электромагнитных волн в вакууме скорости света в вакууме позволило Максвеллу предположить, что свет имеет электромагнитную природу.

Электромагнитная волна называется монохроматической, если проекции её векторов    и на оси прямоугольной системы координат совершают гармонические колебания одинаковой частоты.

В электромагнитной волне происходят взаимные превращения электрического и магнитного полей. Эти процессы идут одновременно, и электрическое и магнитное поля выступают как равноправные «партнеры». Объемная плотность энергии электромагнитного поля в линейной изотропной среде

  ,  (128)

В электромагнитной волне модули напряженности  магнитного поля и напряженности электрического поля в каждой точке пространства связаны соотношением

  .  (129)

Из уравнения (129) следует, что

  ,  (130)

где с –скорость электромагнитных волн в вакууме.

Электромагнитные волны переносят энергию.

Плотностью потока энергии называют энергию, переносимую волной за единицу времени через единицу площади. Вектор плотности потока электромагнитной энергии называется  вектором Умова-Пойнтинга . Согласно формуле (112), имеем:

= = .

Для монохроматической волны групповая и и фазовая υ скорости равны. Подставляя сюда выражения  (128) для w  и  (127) для υ, можно получить:

Так как векторы и взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора   совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен ЕН:

    (131)

Единицей плотности потока энергии в СИ является Ватт на квадратный метр (Вт/м2).

Так как интенсивность бегущей электромагнитной волны это физическая величина J, равная модулю среднего значения вектора Умова - Пойнтинга за период его полного колебания, то

:

  | υ|,  (132)

где - фазовая скорость, -среднее значение объемной плотности энергии. Согласно выражению (113), интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды. Так как  , согласно выражению (130), пропорциональна Е02 , то этот вывод справедлив и для электромагнитной волны: интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды.

5.5 Излучение электромагнитных волн

Первое экспериментальное подтверждение электромагнитной теории Максвелла было дано примерно через 15 лет после создания теории в опытах

Г. Герца (1888 г.). Герц не только экспериментально доказал существование электромагнитных волн, но впервые начал изучать их свойства – поглощение и преломление в разных средах, отражение от металлических поверхностей и т. п. Ему удалось измерить на опыте длину волны и скорость распространения электромагнитных волн, которая оказалась равной скорости света.

Опыты Герца сыграли решающую роль для доказательства и признания электромагнитной теории Максвелла. Через семь лет после этих опытов электромагнитные волны нашли применение в беспроволочной связи (, 1895 г.).

Электромагнитные волны могут возбуждаться только ускоренно движущимися зарядами. Цепи постоянного тока, в которых носители заряда движутся с неизменной скоростью, не являются источником электромагнитных волн. В современной радиотехнике излучение электромагнитных волн производится с помощью антенн различных конструкций, в которых возбуждаются быстропеременные токи.

Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является небольшой по размерам электрический диполь, дипольный момент p(t) которого быстро изменяется во времени. На рисунке 46 изображён элементарный диполь, совершающий гармонические колебания. Такой элементарный диполь называют диполем Герца или вибратором Герца. В радиотехнике диполь Герца эквивалентен небольшой антенне, размер которой много меньше длины волны λ (рис. 23).

Рисунок 23

На рисунке 24 представлена структура электромагнитной волны, излучаемой таким диполем. Красные линии представляют собой силовые линии вихревого  электрического  поля,  синие  точки  и  крестики соответствуют  направлениям вектора индукции магнитного поля, индуцированного вихревым

   

Рисунок 24

электрическим полем. Следует обратить внимание на то, что максимальный поток электромагнитной энергии излучается в плоскости, перпендикулярной оси диполя. Вдоль своей оси диполь не излучает энергии. Герц использовал элементарный диполь в качестве излучающей и приемной антенн при экспериментальном доказательстве существования электромагнитных волн.