Свойства функции

Свойства функции

Область определения функции –  множество х (обозначается D)    у   а  х   D(x) = [a ; + ∞)	Область значения функции – множество у  (обозначается Е)   у   b   х   E(y) = (- ∞ ; b ]
Возрастание (убывание) функции   y  возр. х ϵ [a ; b ] а         с  x   b   убыв. х ϵ [b  ; с ]	Положительные и отрицательные значения функции   y  пол. х ϵ [ b ; c ]           a  b  c  d  x    отр.  х ϵ [ a ;b ] ᵁ [ c ; d]
Наибольшее и наименьшее значения фугкции         y  y(наиб) = а   a    y(наим) = Ш   x	Нули функции (х, при которых у=0)   y         a  b  c  x   x = a; b; c
Чётные функции: область опр. cимметрична относительно 0 график симметричен отноc. оси y f(-x) = f(x)  y           x	Нечётные функции: область опр. cимметрична относительно 0 график симметричен отноc. начала координат.  y f(-x) = - f(x)    x
Ни чётные, ни нечётные функции   y   x

Преобразование графиков функций

f(x) → - f(x)  (симметрия относительно оси x) f(x)  - f(x) Точки пересечения графика с осью х остаются неизменными  y   x	f(x) → f(-x) (симметрия относительно оси y) f(x)  f(-x) Точки пересечения графика с осью y остаются неизменными  y   x
f(x) → f(x - a)  (параллельн. перенос вдоль оси х) f(x)  f(x - a) смещение → если в скобках ( - ) на a. смещение ← если в скобках ( + ) на a.   y   f(x + a)  f(x)  f(x - a)   │a│   │a│  x	f(x) → f(x) + b (параллельн. перенос вдоль оси y) f(x)  f(x) + b смещение ↑ если за скобками ( + ) на b. Смещение ↓ если за скобками ( - ) на b.   y    f(x) + b   │b│    f(x)    x   │b│  f(x) - b
f(x) → f(ax), где а ˃ 0  (cжатие и растяжение вдоль оси х) f(аx)  а ˃ 1 (график УЖЕ) f(аx)  0˂ а ˂ 1 (график ШИРЕ)   y   а ˃ 1  а = 1   0˂ а ˂ 1           x Точки пересечения графика с осью y остаются неизменными	f(x) → a f(x), где а ˃ 0  (cжатие и растяжение вдоль оси y) а f(x)  а ˃ 1 (график ДЛИННЕЕЕ) а f(x)  0˂ а ˂ 1 (график КОРОЧЕ)   y а ˃ 1        а = 1         x   0˂ а ˂ 1 Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными
Построение графика функции  y=│f(x)│   Y   X Части, лежащие ниже оси х, отображаются вверх относительно оси х. График расположен в верхней полуплоскости.	Построение графика функции  y=f(│x│)   y   x Часть графика, лежащая слева от оси у, убирается, а часть графика, лежащая справа от оси у, отображается относительно оси у (влево). График симметричен относительно оси у.

Линейная функция.

Частные случаи:

Взаимное расположение графиков линейных функций:

       

Разные расположения графиков

в зависимости от коэффициентов k и b.

Построение графика:

Выбирают два значения х Находят соответствующие значения у. Отмечают получившиеся точки на координатной плоскости и проводят прямую.

Квадратичная функция.

y = a+bx+c  ( y = a+n),  где а0

График – парабола, ветви которой направлены:

вверх при а; вниз при а.

Если D, то график пересекает ось х в двух точках.

Если D=0, то график пересекает ось х в одной точке (в вершине параболы);

Если D, то график ось х не пересекает.

Параболу строят минимум по 5 точкам.

=   ;  = y( 

X	-2	-1		+1	+2
y	(совпадает с…)	(совпадает с…)

       

Пример:  y = +4x+2  (a=1; b=4;c=2)

=   = = -2  y(-2)= +4•(-2)+2=4-8+2=-2

x -4 -3 -2 -1 0 y 2 -1 -2 -1 2

y(-1) = 1-4+2 = -1 y(0) = 2

Другой способ построения параболы.

Обратная пропорциональность.

y = , где k0.

График – гипербола. График НЕ пересекает оси координат, т. к. х0 и у0.

Гипербола строится минимум по 6 точкам.

При наличии параметров m и  n график функции y = получается из графика функции

y = параллельным переносом вправо вдоль оси Ох на m и вверх вдоль оси Оу на n.

Функция корня.

у=   и  у=.

Областью определения функции у=   является х0.

Областью определения функции у=  являются все действительные числа.

Пересечение графиков:

Из этих точек выбираем ту, координаты которой находятся в 3 координатной четверти.

Ответ: В(-1;-2).