Дроби и проценты

ДРОБИ И ПРОЦЕНТЫ.

Действия с дробями :

Сложение	Вычитание	Умножение	Деление

Сравнение дробей:    ( перекрестное)

Степень с натуральным показателем: 

а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ … ∙ а = аn  .

  n множителей

Проценты:  .

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ.

Зависимость и формулы: 

S = a ∙ b,  E = mc2  ,  C = рd,  E = .

Прямая пропорциональность	Обратная  пропорциональность
s = v∙t	v =
s, км (путь)	t, ч (время)	v, км/ч(скорость)	t, ч (время)
s, км (путь)	v, км/ч(скорость)

Пропорции:

  Средние члены

    a : b = c : d

  Крайние члены

a ∙ d = b ∙ c  - основное свойство

пропорции.

ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.

Свойства действий над числами

Название свойства	Буквенная запись
1	Переместительное	a + b = b + a
ab= ba
2	Сочетательное	(a + b) + c =  a + (b + c )
a(bc) = (ab)c
3	Распределительное	(a + b)c =ac + bc
(a + b) : c =a : c + b : c
a – (b + c) = a – b – c (a + b) -  c = ( a - c )+ b

Раскрытие скобок:  (a + b) + ( c + d) = a + b + c + d,

  (a + b) - ( c + d) = a + b - c – d,

  a  - ( c - d) = a  - c + d,

  a  - ( - c - d) = a  + c + d,

  a∙(b + c) = ab + ac.

УРАВНЕНИЯ.

Равенство с буквой называют уравнением.

Значение буквы называют корнем уравнения.

Решить уравнение это значит найти все его корни или доказать, что корней у него нет.

Решение уравнений 

  Если  a = b,  то  a + c = b + c  и  a – c = b – c

  Если  a = b,  то  ac = bc  и    ( c ≠ 0)

  В уравнении можно перенести слагаемое из

  2х + 3 = 5 + 4х;  одной части в другую, изменив при этом 

  2х - 4х = 5 – 3;  его знак на противоположный.

  - 2х  =  2; 

  х  =  2 : (-2);  Обе части уравнения можно умножить или

  х =  -1;  разделить на одно и то же число, отличное

  Ответ: -1.  от нуля.

 

 

 

  3х = 12 + 8х,

  3х – 8х = 12,

  -5х = 12,

  х = - 2,4.

  Ответ: - 2,4.

Уравнение вида ax = b, где a и b – числа, а х переменная называют линейным.

КООРДИНАТЫ.

Множества точек на координатной прямой

Числовые промежутки

Расстояние между точками:  AO = | o – a|

 

Множество точек на координатной плоскости:

  ГРАФИКИ.

  у 

y= kx + b

  0  х 

СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ … ∙ а = аn  , n>1.

  n множителей

a1 = a,  a0  = 1 

Если  а -  любое число и  m и n -  любые натуральные числа, то 

am an = am+n.

Если  а  -  любое  число,  не  равное  нулю,  и  m  и  n  -  любые натуральные числа, причём  m > n, то 

Если  а -  любое число и  m и n -  любые натуральные числа, то 

( am )n = amn.

Если  а и b -  любые числа  и n -  любое натуральное число, то 

( ab )n = anbn.

Если  а  и  b  -  любые  числа,  причём  b≠0  и  n  -  любое натуральное  число,  то

.

Перестановки

Pn = n!  ,  n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (n – 2)( n – 1)n.

МНОГОЧЛЕНЫ.

Одночлены  это  выражения составлены из чисел и переменных с помощью одного только знака умножения  3ab,  2a2b3 , - x2y,  c10,  3ac∙2b2c.

  6ab2c2 -  одночлен стандартного вида

  коэффициент одночлена.

Многочлены  это алгебраическая  сумма  одночленов  a3 -  2a2 + a,  5b – c,  3xy – y + 4x -7.

  Стандартный вид многочлена.

Действия с многочленами.

Сложение	(a + b) + ( c + d) = a + b + c + d
Вычитание	(a + b) - ( c + d) = a + b - c – d
Умножение	a∙(b + c) = ab + ac
(a +d)∙(b + c) = ab + ac + bd + cd

Формулы сокращенного умножения

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2	квадрат суммы
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2	квадрат разности
(a + b)(a - b) = a2 – b2	разность квадратов
(a - b)(a2 + ab +b2) = a3 – b3	разность кубов
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3	сумма кубов
(a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2 + b3	куб суммы
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3	куб разности

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ.

Вынесение общего множителя за скобки

ab + ac= a∙(b + c).

Способ группировки

ax – bx + ay – by  =  (ax – bx) + (ay – by)= x(a - b) + y(a - b) =  = (a – b)(x+y).

Формулы сокращенного умножения

a2 + 2ab + b2 =  (a + b)2	квадрат суммы
a2 - 2ab + b2 2 = (a - b)	квадрат разности
a2 – b2  =  (a + b)(a - b)	разность квадратов
a3 – b3 =  (a - b)(a2 + ab +b2)	разность кубов
a3 + b3= (a + b)(a2 - ab + b2)	сумма кубов
a3+ 3a2b + 3ab2 + b3= (a + b)3	куб суммы
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3= (a - b)3	куб разности

ЧАСТОТА И ВЕРОЯТНОСТЬ.

Относительная частота случайного события.

  N – число  экспериментов,  n – число происшедших событий. Относительная частота равна    .  Так как  0 ≤ n ≤ N, то относительная частота выражается числом от 0 до 1.

Вероятность случайного события.

Вероятность и частота связаны между собой. Если случайный эксперимент повторять достаточно много раз, то частота интересующего нас события будет близка к его вероятности.

Сложение вероятностей