Учет кулоновского взаимодействия в состояниях двух - и трехчастичного континнума в рамках S-модели

УЧЕТ КУЛОНОВСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СОСТОЯНИЯХ ДВУХ - И
ТРЕХЧАСТИЧНОГО КОНТИННУМА В РАМКАХ S-МОДЕЛИ

,

Тихоокеанский государственный университет, г. Хабаровск

E-mail: *****@***edu. ru

       Обсуждается проблема рассеяния и реакций с участием заряженных частиц. Предлагается решение в виде разложения по кваазиштурмовским (КШ) базисным функциям. В случае двухчастичного рассеяния для учета кулоновского взаимодействия предлагается снабдить базисные КШ функции, отвечающие свободному движению, соответствующими логарифмическими фазовыми множителями. Для получения решения трехчастичного уравнения S-модели, соответствующего процессу (e, 3e), в виде состояния двухэлектронного континнума использованы двухчастичные КШ функции, полученные путем вычисления свертки двух одночастичных КШ функций, отвечающих водородоподобным атомным системам. Корреляция электронов, подобно случаю рассеяния двух частиц, учтена с помощью введения фазовых множителей, соответствующих  кулоновскому взаимодействию электронов.

Кулоновская проблема рассеяния трех тел является одной из фундаментальных нерешенных проблем теоретической физики атомов и молекул. Главной трудностью с точки зрения численной реализации в описании состояния континуума трех заряженных частиц является формулировка граничных условий,  которым удовлетворяет волновая функция в различных асимптотических областях пространства. Нашей целью является построение базиса, способного передать свойства состояния непрерывного спектра кулоновской системы во всем конфигурационном пространстве, включая асимптотическую область сильного разделения частиц.

В работе используются атомные единицы () .

1.Двухчастичная задача. Рассмотрим неоднородное S-волновое уравнение Шредингера, отвечающее рассеянию частицы массы на кулоновском центре :

  (1)

где – радиальный оператор кинетической энергии, энергия . Лагерровские базисные функции имеют вид:

,  (2)

где – масштабный параметр. Мы рассмотрели случай , для которого также положили .

Точное решение уравнения (1) с граничным условием в виде расходящейся волны может быть записано в виде кулоновской квазиштурмовской функции , [1]:

,

для которых существует интегральное представление [1]

  (3)

.

Здесь: – параметр Зоммерфельда; . Асимптотика функций при задается выражением

,  (4)

где , – синусоподобное J-матричное решение [2].

Рассмотрим возможность решения уравнения (1) путем разложения искомой функции по нейтральным КШ функциям .

Базис нейтральных КШ функций. Будем искать решение (1) в виде разложения

.  (5)

Подставляя (5) в (1) получим матричное уравнение относительно коэффициентов разложения [1]. Заметим, что, как следует из (4), асимптотика решения определяется выражением

,  .  (6)

Разложения (5), полученные для различных размеров базисного пространства, представлены на рис. 1. Результаты демонстрируют, что отличия асимптотических свойств базисных функций и не позволяют достичь сходимости разложения (5) к решению уравнения (1) с ростом .

Рис. 1 -  Поведение вещественной части рассеянной волны, полученной без использования фазового множителя, с ростом размерности модельного пространства, на интервале от 50 до 80 а. е.

Модифицированные  КШ функции. Для учета кулоновского взаимодействия снабдим базисные функции фазовым множителем, т. е. модифицируем базис следующим образом:

  (7)

где

.  (8)

Таким образом, приближенное решение (1) будем искать в виде разложения

.  (9)

Асимптотика разложения (9) :

,    (10)

теперь содержит необходимый логарифмический фазовый множитель, что обеспечивает сходимость приближенного разложения (9) к точному решению с ростом , как показано на рис. 2.

Рис. 2 - Сходимость вещественной части рассеянной волны, полученной с использованием фазового множителя, с ростом размерности модельного пространства, на интервале от 50 до 80 а. е.

Причем разложение (4) быстро сходится как во внутренней, так и в асимптотической области.

2.Трехчастичное уравнение (e, 3e) процесса в S-модели. Приближенное уравнение, описывающее реакцию ударной двойной ионизации атома высокоэнергетичным электроном в рамках S-модели, имеет следующий вид [3]:

.  (11) 

Искомая функция соответствует состоянию двухэлектронного континуума. Правая часть (11) представляет собой результат действия оператора возмущения на связанное состояние двухэлектронного атома

  (12)

Где – сферическая функция Бесселя. Мы рассмотрели ионизацию атом гелия (). Простейшей функции основного состояния атома соответствует параметр. Суммарную энергию выбитых электронов и значение переданного импульса положили равным  и, соответственно [4]. 

  Для решения уравнения (11) мы используем двухчастичные КШ функции [5], которые удовлетворяют неоднородному уравнению 

.         (13)

При этом значение масштабного параметра выбрали .

Функции в асимптотической области ведут себя как расходящиеся шестимерные сферические волны [5]:

  (14)

где , ,,  , и . Заметим, что базисные функции не передают адекватно асимптотику решения уравнения (11), поскольку не содержат фазовый множитель ,  отвечающий кулоновскому взаимодействию электронов [6]:

.  (15)

Таким образом, аналогично двухчастичному случаю, для решения проблемы сходимости требуется модификация исходных КШ функций.

Мы рассмотрели два способа решения (11): 1) путем разложения по исходным КШ функциям и 2) модификацию базиса с помощью введения соответствующего фазового множителя.

       Разложение по исходным КШ функциям. Будем искать решение (11) в виде разложения

  (16)

С учетом (15) асимптотика имеет вид

  (17)

Поведение амплитуды – ее абсолютного значения и аргумента, – в зависимости отпредставлено на рис. 3. Здесь мы положили . Результаты, как и следовало ожидать, демонстрируют отсутствие сходимости разложения (16).

       Модифицированные КШ функции. Здесь мы вводим новые базисные КШ функции

,  (18)

где применена следующая параметризация фазы [7]:

, ,    (19)

с вещественными , , . Решение уравнения (11) далее приближается разложением

,  (20)

которое асимптотически ведет себя как

  (21)

Поведение амплитуды как функции представлено на рис. 3, из которого следует достаточно быстрая сходимость результатов для асимптотики решения.

Рис. 3 – Амплитуды разложений (16) и (20): а) аргументы; б) абсолютные величины

Рассмотренные примеры демонстрируют возможность учета кулоновского взаимодействия в состоянии непрерывного спектра нескольких частиц при использовании КШ базисных функций, изначально не способных описать всю дальнодействующую часть взаимодействия в системе. Показано, что модификация базиса путем включения фазовых множителей, отвечающих недостающему кулоновскому взаимодействию, позволяет достичь сходимости разложения решения. При этом скорость сходимости асимптотики может быть существенно увеличена адекватным выбором фазового множителя. 

Л И Т Е Р А Т У Р А

, , Г. Гасанео, , Известия высших учебных заведений. Физика. Томск: Национальный исследовательский Томский государственный университет, Т. 57, № 7, 2014. с. 25-32. The J-Matrix Method: Developments and Applications, A. D. Alhaidari, E. J. Heller, H. A. Yamani, and M. S. Abdelmonem (Springer Sci., Business Media, 2008). G. Gasaneo, D. M. Mitnik, J. M. Randazzo, L. U. Ancarani, and F. D. Colavecchia, Phys. Rev. A 87, 042707  (2013). A. Lahmam-Bennani et al.  Phys. Rev. A 59, 3548 (1999). , , Г. Гасанео, , Известия высших учебных заведений. Физика. Томск: Национальный исследовательский Томский государственный университет, Т. 58, № 7, 2015. с. 62-70. , , Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. М.: Наука, 1985, 400 с. A. S. Zaytsev, L. U. Ancarani and S. A. Zaytsev, Eur. Phys. J. Plus. 131:48 (2016).