Лекция №4

Тема:  Вероятности сложных событий.  Противоположное событие; вероятность противоположного события. Произведение событий. Сумма событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Вероятность произведения независимых событий. Вероятность суммы несовместимых событий (теорема сложения вероятностей) Вероятность суммы совместимых событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Цель:

Вопросы:

Условная вероятность; Правила и теоремы теории вероятностей; Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Содержание:

Условная вероятность

Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми

Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть собы­тие А - вынут белый шар. Очевидно, Р(А) = 1/2. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В - во втором испытании вынут белый шар – также имеет вероятность Р(В) =1/2 , т. е. события А и В - независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается Р(В) =1/4 ,если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается Р(В) =1/2 .

Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В - зависимые.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью РА(В) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило.

Итак, в примере 1 РА(В) = 1/2.

Заметим, что если события А и В независимы, то РА (В )= Р(В).

Правила и теоремы теории вероятностей;

Справедливы следующие теоремы:

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

Вероятность совместного появления двух событий равна  произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

 

Обратите внимание на то, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3, так как для независимых событий - вероятность события В при условии наступления события А, то есть условная вероятность, равна безусловной вероятности .

  4.  Теорема сложения вероятностей совместных событий: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

 

Теоремы верны не только  для двух событий, но и для большого числа.

Пример 1. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей  0,4 , можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

Введем обозначения событий:

Событие - ни при одном выстреле не будет промаха.

Событие - при первом выстреле не будет промаха.

Событие - при втором выстреле не будет промаха.

…

Событие - при i-м выстреле не будет промаха (i=1,2,3…n)

Интересующее нас событие состоит в совмещении событий ,…

 

, при i= 1,2,3…n

События независимы в совокупности, поэтому применим теорему умножения независимых событий.

По условию задачи

Следовательно

И

Т. к.

И

И получим, что

Если события ,… независимы в совокупности и их вероятности равны , …;

Пусть в результате испытания может наступить один из них, или любые два, или любые три, или так далее, или все эти события, или не одного из них, то справедлива теорема 5. Вероятность наступления события , состоящего в появлении хотя бы одного из ,… , независимых в совокупности, равна разнице между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

 

Если все события имеют одинаковую вероятность P, то вероятность появления хотя бы одного из них

                         ()

Пример. В электронную цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятность отказа элементов  , ,

Найти вероятность того, что тока в цепях не будет. Так как элементы включены последовательно, тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один элемент.

Искомая вероятность

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Теорема 6. (формула полной вероятности)

Вероятность события А, которое может  наступать лишь при появлении одного из событий , образующая полную группу, равна сумме и произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А :

,

где + +…+ =1

Теорема 7. (Формула Байеса)

Пусть событие Ф может наступать лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , ,.., , которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоцененные по формуле Байеса

  (i=1,2,…n)

Пример. Число грузовых автомашин проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2 .Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0.1; для легковой машины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовик. Введем обозначения событий. А - событие заключающееся в том, что машина подъехала на заправку. Сделаем 2 гипотезы. -машина легковая. -машина грузовая. Подсчитаем вероятность того, что выбранная наудачу машина будет заправляться.

.

.  .

. .

.

Событие А произошло. Машина подъехала заправиться. Вероятность того, что это грузовая машина: .