Задания

1.  Даны координаты точек M, N, P, Q - вершин пирамиды MNPQ. Требуется: 1) Написать общие уравнения плоскостей MNP, MPQ, привести к виду уравнений в отрезках на осях, найти угол между плоскостями.

2) Найти расстояние от точки Q до плоскости MNP.

3) Написать общее уравнение плоскости , проходящей через точку Q, параллельно плоскости MNP.

4)  Написать общее уравнение плоскости , проходящей через точки M, P, перпендикулярно плоскости MNP.

5) Написать канонические и параметрические уравнения прямой , образованной в результате пересечения плоскостей .

6) Написать канонические и параметрические уравнения прямой , проходящей через точку Q перпендикулярно плоскости MNP.

7) Найти точку H пересечения прямой с плоскостью MNP. Найти координаты вектора , его длину.

M(-2;4;-6),  N(0;-6;1),  P(4;2;1),  Q(7;-1;-8)

1)  Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, не лежащие на одной прямой :

Уравнение плоскости MNP (составляем по точкам M, N,P):

- уравнение плоскости MNP в общем виде. В правильности уравнения можно убедиться, подставив координаты точек M, N, P в уравнение – оно обратится в тождество. Из этого уравнения:

Уравнение плоскости MPQ (составляем по точкам M, P,Q):

- уравнение плоскости MPQ в общем виде. В правильности уравнения можно убедиться, подставив координаты точек M, P, Q в уравнение – оно обратится в тождество. Из этого уравнения:

Из уравнений плоскостей MNP и MPQ в общем виде следует, что векторы

являются нормальными для этих плоскостей (соответственно). Значит угол между плоскостями ц  равен углу между этими векторами.

Отсюда:

2) Расстояние от точки Q до плоскости MNP: координаты точки Q: (7,-1,-8) , уравнение MNP:  . Поэтому:

3) Общее уравнение плоскости , проходящей через точку Q, параллельно плоскости MNP: так как параллельна MNP и уравнение MNP:
, то уравнение . Значение С найдём, подставив координаты точки Q:

Уравнение плоскости в общем виде: 

4) Общее уравнение плоскости , проходящей через точки M, P перпендикулярно плоскости MNP: из уравнения MNP: следует, что - нормальный для этой плоскости, так как M лежит на , то вектор лежит в плоскости . Значит точка R лежит в , находим её координаты (учитываем, что M(-2,4,-6) ):

Теперь составляем уравнение по трём точкам M, P, R:

- уравнение плоскости в общем виде. Проверить правильность можно следующим образом: нормальный вектор для этой плоскости: . Если  перпендикулярна MNP, то и их векторы нормалей должны быть перпендикулярны. Убедимся в это, вычислив скалярное произведение    (оно должно быть равно нулю):

5) Плоскости :

Найдём прямую пересечения этих плоскостей , определив 2 точки этой прямой.

Пусть . Тогда:

Вычтем из 2-го уравнения 1-е, получим:

Получаем 1-ю точку: 

Пусть теперь  . Тогда:

Прибавим ко  2-му уравнению 1-е, умноженное на 26, получим:

Получаем 2-ю точку: 

Теперь по найдённым точкам строим направляющий вектор прямой :

Умножая все координаты на 21/50 , получаем “более удобный” направляющий вектор: 

Теперь составляем канонические  и параметрические уравнения , учитывая, что она проходит через точку  и её направляющий вектор .

Канонические уравнения:

Параметрические уравнения:

6) Для прямой , проходящей через точку Q перпендикулярно плоскости MNP, направляющий вектор  - вектор нормали MNP (учитываем уравнение плоскости MNP в общем виде: ) : .

Теперь составляем канонические  и параметрические уравнения , учитывая, что она проходит через точку  и её направляющий вектор .

Канонические уравнения:

Параметрические уравнения:

7) Подставляем параметрические уравнения   в уравнение плоскости MNP:

Точка пересечения   и MNP определяется значением параметра

Координаты точки H: , вектор :

Длина вектора

Видим, что это значение совпало с расстоянием от точки Q до плоскости MNP, - действительно, ведь перпендикулярен плоскости MNP.

2.  Даны координаты вершин треугольника MNP. Сделать чертёж. Найти:

1) Координаты векторов , их длины.

2) Общие уравнения сторон MN, NP, MP и их угловые коэффициенты.

3) Угол N между векторами (через cos и tg, проверить выполнение )

4) Общее уравнение высоты PQ, её длину h и координаты точки Q пересечения высоты с прямой MN.

5) Общее уравнение медианы MR, координаты точки S пересечения её с высотой PQ.

6) Уравнение прямой, проходящей через точку S параллельно стороне MN.

  M(-1,-3) ;  N(8,3) ;  P(4,7)

Сделаем сначала чертёж.

1) Координаты векторов , их длины.

Длины:

2) Общие уравнения сторон MN, NP, MP и их угловые коэффициенты.

3) Угол N между векторами :

Значит угол N равен arctg(5).

Либо так:

Проверим выполнение

4) Так как PQ перпендикулярна MN, то угловой коэффициент прямой PQ равен:

Тогда уравнение PQ: 

Подставляем координаты точки P: 

Уравнение высоты PQ: 

Или в общем виде:

Координаты точки Q находим из системы (Q лежит на PQ и на MN):

Длина высоты PQ равна:

5) МR – медиана, проведённая из точки M. Точка R – середина NP, значит:

Теперь составляем уравнение медианы МR по точкам M(-1;-3) и R(6;5):

- уравнение медианы MR в общем виде.

Найдём координаты точки S пересечения её с высотой PQ из системы:

Умножим 1-е уравнение на 2, 2-е на 7 и сложим их:

Координаты точки S: 

6) Уравнение прямой, проходящей через точку S параллельно стороне MN: угловой коэффициент этой прямой равен , значит уравнение прямой:

Подставляем координаты точки S:

Уравнение прямой: