Лабораторная работа №6
Тема. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).
Цель: изучить и реализовать алгоритмы генерации равномерно распределенных случайных величин с целью их применения для задачи нахождения площади круга известного диаметра.
Постановка задачи. Необходимо найти площадь круга, вписанного в квадрат, по n испытаниям. Точность полученного результата будет зависеть от величины n испытаний. Генератор случайных величин необходимо задать с использованием Excel.
Теоретическое обоснование решения задачи. С помощью датчика равновероятностного распределения случайных чисел многократно генерируются координаты точки, принадлежащей прямоугольнику. При большом количестве испытаний площадь фигуры G приближенно равна отношению числа точек, попавших в область G (окружность), к числу всех разыгранных точек (попавших в квадрат). Получить модель решения задачи для круга, вписанного в квадрат, радиус которого равен 5 и его центр в точке (0,0).
Рис. 1
Уравнение окружности будет иметь вид:
Описанный квадрат определяется его вершинами (—5, 5), (5, 5), (5, -5) и (-5, -5), которые получаются непосредственно из геометрических свойств фигуры. Любая точка (х, у) внутри квадрата или на его границе должна удовлетворять неравенствам —5<х<5 и —5<у<5
Применение выборок при использовании метода Монте-Карло основано на предположении, что все точки в квадрате —5<х<5 и —5<у<5 могут появляться с одинаковой вероятностью, т. е. х и у распределены равномерно с плотностями вероятности.
Определим теперь точку (х, у) в соответствии с распределениями f(x) и f(y). Продолжая этот процесс, подсчитаем число точек, попавших внутрь круга или на окружность. Предположим, что выборка состоит из п наблюдений и т из п точек попали внутрь круга или на окружность. Тогда
S≈ т/п*S1
где S - площадь вычисляемой фигуры,
S1 - площадь описанной фигуры,
m - число попаданий,
n - число наблюдений.
Подобный способ оценивания площади круга можно обосновать тем, что в процессе получения выборки любая точка (х, у) может с одинаковой вероятностью попасть в любое место квадрата. Поэтому отношение т/п представляет оценку площади круга относительно площади квадрата.
1. Использование Excel для постановки эксперимента.
Для получения выборки случайных чисел с заданным распределением в Microsoft Excel 2007 можно воспользоваться функцией «Генерация случайных чисел» из меню «Данные» (Подключить можно используя меню настройки быстрого доступа – надстройки).
Для получения выборки случайных чисел с заданным распределением в Microsoft Excel 2010 можно воспользоваться функцией «Генерация случайных чисел» из меню «Данные-Анализ данных» (Подключить можно используя меню настройки быстрого доступа – другие команды-надстройки-пакет анализа).
Рис. 2
Рис. 3
Нажмите кнопку Ок, получим таблицу:
…
Рис. 4
Вычислим число попаданий, число наблюдений, площадь круга:
…..
Рис. 5
2. Обработка результатов
Для изучения влияния статистической ошибки при моделировании задача решалась для различных значений п. равных 150, 200, 500, 1000, 2000, 5000 и 10 000. Кроме того, при каждом n необходимо провести 10 прогонов, в каждом из которых используются различные последовательности случайных чисел из интервала [-5, 5], получим:
Рис. 6
Для вычисления площади круга необходимо вычислить среднее значение и дисперсию для n испытаний, используя мастер функций (=СРЗНАЧ(…) ; =ДИСПР(…)).
Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние)- это средний квадрат отклонений, мера характеризующая разброс данных вокруг среднего значения. Получим:
Рис. 7
В таблице приведены результаты эксперимента, исходя из которых, сделайте выводы по следующим вопросам.
Что происходит с ростом числа генерируемых точек (т. е. продолжительности прогона модели). Проиллюстрируйте диаграммой как изменится среднее значение в зависимости от n. Выберите наиболее точное значение по результатам испытаний, сравните его со значением вычисления по точной формуле(S=р
). 3. Практическая часть.
Проверить решение Примера 1 с использованием разных пакетов. Решение задания 2 также привести в разных пакетах (Excel, MathCad, Matlab). Решение задач 1 и 3 можно осуществить в любом пакете. Результаты, полученные с помощью моделирования в задании 2 сравнить с расчетным результатом.
Для отчета необходимо:
Для каждого задания привести математическую модель эксперимента Привести тексты модулей решения всех заданий. Определить оптимальное количество экспериментов с помощью оценки дисперсии. Произвести обработку результатов моделирования и представить ответ в виде доверительных интервалов для искомой величины.Задание 1 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
Рис. 8
Из рисунка видно, что левая граница прямоугольника проходит через точку с координатой 2,2; правая – через 4. Нижняя - через 0 и верхняя через 1. Площадь прямоугольника будет S1=(4-2,2)*1=1,8.
Точки по оси х нужно генерировать в интервале от 2,2 до 4. Воспользуемся функцией «Генерация случайных чисел» (Рис. 8).
Рис. 8
Аналогично делаем для оси y, на интервале от 0 до 1.
Получим таблицу:
…
Рис. 10
Вычислим число попаданий, число наблюдений, площадь фигуры:
…
Рис. 11
Рис. 12
Обработка результатов
Для изучения влияния статистической ошибки при моделировании решите задачу для различных значений п. равных 150, 200, 500, 1000, 2000, 5000 и 10 000. Кроме того, при каждом n необходимо провести 10 прогонов, в каждом из которых используются различные последовательности случайных чисел из интервала.
Для вычисления площади фигуры необходимо вычислить среднее значение и дисперсию для n испытаний, используя мастер функций (=СРЗНАЧ(…) ; =ДИСПР(…)).
Создайте таблицу и сдайте отчет преподавателю.
только по диагонали, но и строго вперед (назад), вправо (влево).Задание 2 (по вариантам)
Базовый уровень.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=0
y=0
y=0
x=0
x=р
y=0
y=0
y=0
y=0
y=0
y=0
y=0
Профильный уровень.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
х=8
Оформите отчет и сдайте преподавателю.
