Функциональный анализ

Функциональный анализ

Задание 2. Доказать, что множество сходящихся степенных рядов является линейным пространством:

Р е ш е н и е. Пусть   бесконечные последовательности вещественных чисел, а радиусы сходимости равны и соответственно. Определим сумму элементов множества естественным образом: И курса математического анализа известно, что полученный таким образом ряд будет также сходящимся, и его радиус сходимости равен меньшему из чисел и , если хотя бы одно из них конечно, и если   В пространстве определен нулевой элемент , радиус сходимости которого равен, очевидно, бесконечности, и противоположный элемент для каждого : Очевидно, в силу определенной выше суммы, для любого выполнены следующие равенства:

 

где произвольная константа. Радиус

  Все аксиомы линейного пространства выполнены, а значит, определенное таким образом пространство сходящихся степенных рядов является линейным пространством.

Задание 3. Какую мощность имеет множество: а) всех перестановок натурального ряда; б) всех финитных перестановок натурального ряда?

Р е ш е н и е. а) Рассмотрим двоичное представление всех действительных чисел отрезка [0; 1]: где все принимают значения 0 или 1.

Мощность этого множества равна мощности континуума Пусть теперь мы имеем некоторую перестановку натурального ряда. Всем числам, остающимся на месте (в естественном порядке натуральных чисел), поставим в соответствие число 0, а числам, которые стоят не на своем месте – число 1. Различные множества нулей образуют множество всех подмножеств натурального ряда, и его мощность равна, как известно, В отличие от любого множества нулей, которое однозначно определяет натуральные числа в любой перестановке, множество единиц не дает такого однозначного определения, то есть мы имеем несчетное множество классов эквивалентности, каждому из которых соответствует действительное число в двоичном представлении описанного выше вида, и которые исчерпывают все точки единичного отрезка. Выбирая в каждом классе какой-нибудь представитель. Получим инъективное отображение отрезка [0; 1] в множество всех перестановок натурального ряда. Отсюда следует, что мощность множества всех перестановок С другой стороны, поставим в соответствие каждой перестановке натурального ряда действительное число из отрезка [0; 1] число 0,11…10 1…10…, в котором каждому нулю предшествует некоторое число единиц, равное определенному этой перестановкой натуральному числу. Этими числами исчерпываются все перестановки натурального ряда, но не исчерпываются все числа из отрезка [0; 1]. Например, концы этого отрезка не являются образом некоторых перестановок при таком отображении, а значит, мы имеем инъекцию множества всех перестановок в отрезок [0; 1], то есть мощность множества всех перестановок Из этих двух неравенств, а также на основании теоремы Кантора-Бернштейна заключаем, что мощность множества всех перестановок натурального ряда равна

б) Множество всех финитных перестановок является объединением по всех множеств, оставляющих на месте все элементы натурального ряда, начиная с Множество все перестановок чисел от 1 до конечно и, очевидно, больше или равно 1 для всех . Действительно для всех существует циклическая перестановка ( начального отрезка ряда натуральных чисел. Для различных все эти перестановки различны. Счетное объединение непустых конечных множеств является, как известно, счетным, то есть множество финитных перестановок имеет мощность

Задание 4. Пусть – полное метрическое пространство: отображение пространства такое, что существует натуральное для которого является сжимающим отображением. Доказать, что существует единственная неподвижная точка отображения:

Р е ш е н и е. Пусть точка является неподвижной для отображения , то есть существует единственная неподвижная точка такая, что  , причем, для любой точки Здесь введено обозначение Для неподвижной точки справедливо также соотношение для любого натурального Покажем, что точка является единственной неподвижной и для отображения Действительно, для любого натурального

.

Здесь Переходя в правой части к пределу при , в силу сжимаемости отображения , получим , то есть окончательно имеем , и эта точка является единственной неподвижной, что и требовалось доказать.