Задания с решениями

Задание 1

Дано: M=100 Н⋅м, l=0,5 м, F1=10 Н, α1=30°, F4=40 Н, α4=60°.

Определить: реакции в точках A и B, вызываемые действующими нагрузками.

Решение

1. Рассмотрим равновесие балки. Проведем координатные оси Axy и изобразим действующие на балку силы: силы-F1 и-F4, пару сил с моментом M и реакции связей: две составляющие реакции неподвижного цилиндрического шарнира-XA,-YA, реакцию невесомого стержня-RB.

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы-F4 относительно точки A воспользуемся теоремой Вариньона. В итоге получим:

(1)

(2)

(3)

Решаем полученную систему уравнений (1)-(3).

кН,

кН.

Ответ:XA=-113,3 кН, YA=-29,6 кН, RB=84,6 кН. Знаки указывают, что направление сил XA и YA противоположно показанному на рисунке.

Задание 2

Дано: см,  см, t1=1с.

Определить: y=y(x), V, a, an, aτ, ρ.

Решение

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Для этого воспользуемся тригонометрической формулой

Из заданных уравнений движения

, ,тогда .

Окончательно траектория движения - эллипс, уравнение которой имеет вид:

.

Строим на рисунке траекторию и показываем положение точки в заданный момент времени. При t1=1 с x= -2,9 см,  y= 5 см.

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси

см/с,

см/с.

При t1=1 с Vx=2,1 см/с, Vy=4,53 см/с.

Модуль вектора скорости найдем по формуле

см/с.

3. Аналогично находим ускорение точки через его проекции на оси координат

см/с2, см/с2.

При t1=1 с ax=1,9 см/с2, ay=−1,37 см/с2.

Модуль ускорения найдем по формуле

см/с2.

4. Касательное ускорение найдем по формуле

см/с2.

Тогда нормальное ускорение:

см/с2

5. Радиус кривизны траекториисм.

Все кинематические параметры показываем на рисунке.

Ответ: V=5 см/с, a=2,34 см/с2, aτ=−0,45 см/с2, an=2,3 см/с2, ρ=10,9 см.

ЗАДАНИЕ 3

Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес.

Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 -  r1= 2 см, R1= 4 см, у колеса 2 -  r2= 6 см, R2= 8 см,  у колеса 3 -  r3= 12 см, R3= 16 см. На ободьях колес расположены точки А, В и С.

Определить в момент времени t1=2 c: скорости , , ускорения , , , если тело 5 движется со скоростью .

РЕШЕНИЕ

Скорости точек, лежащих на ободах колес радиуса , обозначим через, а точек, лежащих на ободах колес радиуса , через .

Угловые скорости всех колес.

Т. к. , то .

Т. к. колеса 1 и 2 связаны ременной передачей, то

или и .

Колеса 1 и 3 находятся в зацеплении, следовательно, ,

то есть и отсюда .

Скорости , .

, .

При t1=2 c:

=0,75 (см/с),

=1,5 (см/с).

Угловое ускорение .

, следовательно == 0,19(рад/с2).

Ускорение .

Для т. В , где , .

Угловое ускорение === 1 (рад/с2).

Таким образом при t1=2 c:

касательная составляющая (см/с2),

нормальная составляющая == 0,5 (см/с2),

полное ускорение == 8,02 (см/с2).

Ускорение .

Т. к. рейка 4 совершает поступательное движение, то .

Тогда = 2,28 (см/с2).

Ответ:м/с; = 0,5 см/с; рад/с2; см/с2; 2,28 см/с2.

Задание 4

Дано: m=2 кг, V0=20 м/с, Q=6 Н, R=0,4VH, t1=2,5 c, Fx=-5cos(4t) Н.

Определить: x=x(t) – закон движения груза на участке BC.

Решение

1. Рассмотрим движение груза на участке AB, считая его материальной точкой. Изображаем груз в произвольном положении и действующие на него силы: P – сила тяжести, N – реакция поверхности, R, Q. Проводим ось Az и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:   (1) Принимая во внимание, что

Vz=V, Q=6 Н, R=μV, где μ=0,4, получим

  (2)

Разделяем в (2) переменные и интегрируем:

  (3)

.  (4)

Константу интегрирования в (4) находим по начальным условиям.

При t=0 с V=V0=20 м/с, тогда из (4)

В итоге уравнение (4) принимает вид

  (5)

Из (5) в результате находим

  (6)

Полагая в (6) t=2,5 c определяем скорость VB груза в точке B:  VB= 8,4 м/с.

2. Рассмотрим движение груза на участке BC. Найденная скорость VB на этом участке будет начальной. Изображаем груз и действующие на него силы P, N, Fx. Проведем из точки B  ось Bx и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

,  (8)

Подставляем в (8) значения сил (учитывая, что Vx=V)

.  (9)

Разделим (9) на m

.  (10)

Разделяем в (10) переменные и интегрируем

,

.  (11)

Уравнение (11) повторно интегрируем

,

.  (12)

Константы интегрирования находим из начальных условий. Будем отсчитывать время от момента, когда груз находился в точке B.

При t=0 V=VB, x=0, тогда из (11) и (12) получаем константы: , . Подставив найденные константы в (12), окончательно получаем искомый закон движения

,

или после подстановки  численных значений параметров

.  (13)

Задание 5

Дано: m1=6 кг, m2=0 кг, m3=2 кг, m4=0 кг, m5=8 кг, M4=0,6 Н⋅м, F=20(5+2s) Н,

R4=0,3 м, r4=0,1 м, R5=0,2 м, r5=0,1 м, f=0,1, s1=1,2 м.

Определить:ω5.

Решение

1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные F, P1, P3, P5, реакции связей N1, N3, N4, N5,силы трения Fтр1, Fтр3 и момент сопротивления M4.

Для определения ω5 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

.  (1)

2. Определяем T и T0. Так как в начальный момент система находилась в покое, то T0=0. Величину T найдем как сумму кинетических энергии всех тел системы

T=T1+T3+T5.  (2)

Учитывая, что тело 3 движется плоскопараллельно, тело 1 – поступательно, а тело 5 вращается вокруг неподвижной оси, получим

, , .  (3)

Все входящие в (3) скорости нужно выразить через искомуюω5.

, , .  (4)

Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения

, .  (5)

Подставив величины (4) и (5) в (3), а затем и в (2), окончательно получим

.  (6)

3. Найдем сумму работ всех внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр масс груза 1 пройдет путь s1.

,

,

,

.

Работы остальных сил равны нулю, так как точки приложения сил P5, Fтр3 неподвижны, реакции N1, N3, N4, N5 перпендикулярны направлениям перемещений грузов, точка приложения силы P3 перемещается по горизонтали.

Суммируем найденные работы

(7)

Подставляем выражения (6) и (7) в уравнение (1) и получаем:

. (8)

Из равенства (8), подставив в него значения заданного перемещения, находим искомую скорость.

Ответ:ω5=26,4 рад/с.