Глава 8. Статические оценки параметров распределения.
8.1. Точечные оценки.
8.1.1. Пусть дано распределение изучаемого признака Х генеральной совокупности (ГС), содержащей неизвестный параметр 
. Например это параметр 
в распределении Пуассона. Так как исследование всех элементов ГС не представляется возможным, то о параметре 
судят по выборке, состоящей из значений 
. Эти значения можно рассматривать как значения n независимых случайных величин 
, имеющих тот же закон распределения, что и изучаемый признак Х.
Статистической оценкой 
неизвестного параметра 
называют функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х:
= 
. (8.1.1)
Так как 
- случайные величины, то и оценка 
является случайной величиной, зависящей от закона распределения Х и числа n.
Точечной оценкой параметра 
называют статистическую оценку, которая определяется одним числом 
= 
по результатам n наблюдений 
признака Х.
Отметим основные требования к точечным оценкам.
1. Оценка 
должна быть несмещенной, т. е. ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру 
при любом объеме n выборки;
. (8.1.2)
В противном случае оценка называется смещенной.
2. Оценка 
должна быть состоятельной, т. е. сходиться по вероятности к параметру 
:
. (8.1.3)
Если оценка состоятельна, то практически достоверно, что при достаточно большом n 
.
3. Несмещенная оценка 
должна быть эффективной, т. е. иметь наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок параметра 
.
Так как для несмещенной оценки 
ее дисперсия 
определяется в виде
, (8.1.4) то эффективность является определяющим качеством оценки.
8.1.2. Оценка генеральной доли.
Пусть в ГС объема N M элементов обладают признаком Х.
В качестве точечной оценки генеральной доли 
берется выборочная доля 
, где n – объем выборки, m – количество элементов выборки, обладающие признаком Х.
Для повторной выборки выборочная доля 
является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли 
, причем ее дисперсия
, (8.1.5) где 
, стремится к нулю при увеличении объема выборки.
Для бесповторной выборки выборочная доля 
также является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли, причем, если объем ГС значительно больше объема выборки, то и дисперсия 
выборочной доли практически совпадает с (8.1.5).
Пример 8.1.1. В таблице приведены результаты измерения роста случайной отобранных 100 студентов (юношей).
Рост | 160-165 | 165-170 | 170-175 | 175-180 | 180-185 | 185-190 | 190-195 |
Число студентов | 3 | 21 | 27 | 23 | 14 | 10 | 2 |
Найти несмещенную и состоятельную оценку доли студентов с ростом не менее 175 см.
Решение. Оценкой доли 
является выборочная доля 
.
.
8.1.3. Оценка генеральной средней.
Выборочная средняя 
повторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней 
, причем ее дисперсия
, (8.1.6) где 
- генеральная дисперсия признака Х, n – объем выборки, стремится к 0 при 
.
Для бесповторной выборки выборочная средняя 
также является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.
Отметим, что если 
, то бесповторная выборка практически не отличается от повторной.
Пример 8.1.2. Найти несмещенную и состоятельную оценку среднего роста студентов по данным выборки 8.1.1.
Решение. По данным вариационного ряда найдем 
.
=
.
8.1.4. Оценка генеральной дисперсии.
Выборочная дисперсия 
повторной и бесповторной выборок является смещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии 
, так как
, (8.1.7) где n – объем выборки.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит генеральная выборочная дисперсия 
, вычисляемая по формуле
. (8.1.8)
Пример 8.1.3. Найти несмещенную и состоятельную оценку генеральной дисперсии случайной величины Х – рост студента, по данным выборки примера 8.1.1.
Решение. Вычислим смещенную оценку 
по формуле
, (8.1.9) где 
- условные варианты. В качестве с возьмем высокочастотную варианту 172,5, составим распределение условных вариант
Ui | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
ni | 3 | 21 | 27 | 23 | 14 | 10 | 2 |
и вычислим 
и 
.
И 
.
Исправленная выборочная дисперсия
.
Заметим, что при достаточно больших 
различие между 
и 
практически незаметно.
8.2. Интервальные оценки.
Для малых объемов выборки точечная оценка может значительно отличаться от исследуемого параметра. В этом случае используется интервальная оценка.
Интервальной оценкой параметра 
называется числовой интервал 
, который с заданной вероятностью 
накрывает неизвестное значение 
. Такой интервал называют доверительным, а вероятность 
- доверительной вероятностью или надежностью оценки. Зачастую доверительный интервал выбирают симметричным относительно исследуемого параметра 
, т. е. 
.
