УДК 521.1
*, *,
ПОСТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ НУЛЕВЫХ СКОРОСТЕЙ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ ДВУХ НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМЫ MATHEMATICA
(Алматы, Казахский национальный университет им. аль-Фараби, *магистрант)
Аннотация. Рассматривается обобщенная задача двух неподвижных центров. Массы тел считаются постоянными. Опираясь на работу найдены точки либрации задачи. Для вычислений использована система компьютерной алгебры Mathematica. Спомощью этой системы построены поверхности нулевых скоростей.
Ключевые слова: задача двух тел, точки либрации, поверхности нулевых скоростей.
Введение
Над классической задачей двух неподвижных центров работали очень многие известные ученые, такие как , , и т. д. Данная проблема направлена на изучение движения пассивно гравитирующего тела «нулевой» массы, притягиваемого двумя активными «неподвижными» телами [1-3].
Постановка задачи
Рассмотрим три тела 
и 
(Рисунок 1) с массами 
и 
, соответственно. Данные тела имеют сферическое распределение массы, следовательно, они рассматриваются как материальные точки, а также удовлетворяют условию 
. Следует отметить, что тело 
не должно оказывать заметного гравитационного влияния на оставшиеся два тела. Данная задача рассматривается на интервале времени 
, где 
- интервал времени на котором исследуется интересующее нас движение тела 
под действием тяготения тел 
и 
.
Рисунок 1. Иллюстрация к задаче двух неподвижных центров.
Запишем уравнения движения тела 
[2]
(1)
где
Следует отметить, что переход от декартовых координат 
к сферическим 
осуществляется с помощью формул
Точки либрации и поверхности нулевых скоростей обобщенной задачи двух неподвижных центров
Известно, что уравнения движения (1) интегрируются в квадратурах [1]. Для исследования точек либраций данной задачи получаем из уравнения (1) систему уравнений [2]
(2)
Так как 
и 
(где 
), то уравнение (2) можно записать в следующей форме
(3)
где частные производные в левых частях уравнения (3) имеют вид
Первое выражение в уравнении (3) удовлетворяется при условии 
, 
, а из второго выражения получаем
(4)
Решая уравнение 
получаем решения 
. Знак «минус» перед радикалом не учитывается, в связи с тем, что всегда выполняется условие 
. Переходя к координате 
по формуле 
получим изолированные точки либрации 
и 
в пространстве 
[2], расположенные по отдельности вдоль оси 
Рассмотрим симметричный случай, когда 
, где потенциал 
и 
. В этом случае существуют такие точки либрации 
. Здесь 
- поверхностная точка либрации диска 
(
), расположенного внутри окружности 
с единичным радиусом 
, а 
- бесконечно удаленная поверхностная точка либрации, расположенная на сфере 
.
Принимая во внимание условие симметричности 
, находим, что для отрицательных значений 
точки либрации 
и 
изображаются симметрично на плоскости 
, а поверхностные точки либрации сохраняются.
В асимметричном случае, когда 
, где потенциал 
, можно найти такие точки либрации, как 
.
Остается предельный случай, когда 
, а потенциал 
. В этом случае точки либрации имеют вид 
.
Следует отметить, что (4)-уравнение больше не имеет никаких точных решений.
Запишем интеграл энергии в виде
(5)
где 
- скорость тела 
, 
- постоянная энергии. Из этого интеграла для любых 
можно найти возможные области движения с помощью неравенства
(6)
здесь 
- новая постоянная. Границы таких областей являются поверхностями нулевых скоростей
(7)
На следующих рисунках 2-6 на основе уравнения (7) изображены сечения поверхностей нулевых скоростей (для значений, когда 
=0; 0.5; 1; 2; 
) в плоскости 
. Эти графики получены с помощью системы символьных вычислений Mathematica [4] и соответствуют графикам, полученные в работе [2].
Рисунок 2. Cимметричный случай, когда |
Рисунок 3. Асимметричный случай, когда |
Рисунок 4. Асимметричный случай, когда |
Рисунок 5. Асимметричный случай, когда |
Рисунок 6. Предельный случай |
. Точки либрации: 
.
. Точки либрации: 
и 
. 
. Точки либрации: 
и 
. 
. Точки либрации: 
и 
. 
.4 Заключение
Рассмотрена обобщенная задача двух неподвижных центров. Руководствуясь работой найдены точки либрации данной задачи. На плоскости, с помощью системы аналитических вычислений Mathematica, построены графики сечений поверхностей нулевых скоростей. Эти графики идентичны с графиками, найденные в работе , что мы и предполагали получить.
Список литературы
Дубошин механика. Основные задачи и методы. - М., Наука, 1968. - 799 с. Об обобщенной задаче двух неподвижных центров // Космические исследования. - 2006. - Т.44, №2. - с. 162-169. , , Демин задача двух неподвижных центров и ее применение в теории движения искусственных спутников Земли // Астрономический журнал. – 1963. - Т. 40, №2. - с. 363. Mathematica 5/6/7. Полное руководство. - M., 2010. - 624 с.
Аңдатпа. Мақалада екі қозғалмайтын центр есебінің жалпыланған жағдайы қарастырылған. Денелердің массасы тұрақты болып саналады. ң жұмысының негізінде есептің либрация нүктелері табылды. Есептеулер үшін компьютерлік алгебра жүйесі Mathematica қолданылды. Осы жүйенің көмегімен нөлдік жылдамдықтар беттері тұрғызылды.
Түйін сөздер: екі дене есебі, либрация нүктелері, нөлдік жылдамдықтар беттері.
Abstract. A generalized problem of two fixed centers is considered. The masses of bodies are considered to be constant. Based on L. G. Lukyanov's work are found the libration points of the problem. For the calculations is used Mathematica computer algebra system. With help of this system we built surfaces of zero velocity.
Keywords: two body problem, libration points, zero-velocity surfaces
