Задача 1.
Доказать, что при любом натуральном n число 23n+1 делится на 3n+1 и не делится на 3n+2.
Задача 2.
Известно, что х+1/x – целое число. Доказать, что хn+1/хn – так же целое число при любом целом n.
Задача 3.
Доказать, что при натуральном n > 1 и |х| < 1 справедливо неравенство
(1–x)n+(1+x)n < 2n.
Задача 4.
На плоскости дано n окружностей. Доказать, что при любом расположении этих окружностей образуемую ими карту можно правильно раскрасить двумя красками.
Задача 5.
Доказать, что при любом натуральном n:
а) число 5n–3n+2n делится на 4;
б) число n3+11n делится на 6;
в) число 7n+3n–1 делится на 9;
г) число 62n+19n–2n+1 делится на 17;
д) число 7n+1+82n–1 делится на 19;
е) число 22n–1–9n2+21n–14 делится на 27.
Задача 6.
Докажите, что (n+1)·(n+2)· … ·(n+n) = 2n·1·3·5·…·(2n–1).
Задача 7.
Найдите натуральные числа a, b, c, которые не делятся на 10 и такие, что при любом натуральном n числа an + bn и cn имеют одинаковые две последние цифры.
Задача 8.
Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального n справедливы следующие равенства:
.
Задача 9.
Доказать, что для всех натуральных 
Задача 10.
Доказать
.
