Вариант 2

ВАРИАНТ 2

Точка движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s=Ct3 , где С=0,1 см/с3. Найти тангенциальное ускорение точки в момент, когда линейная скорость точки равна 0,3 м/с.

Дано: R = 2 см = 0,02 м; s = Ct3; С=0,1 см/с3 = 1⋅10-3 м/с3; υ = 0,3 м/с

Найти: aτ

Решение:

Линейная скорость точки:

Выразим время:

Тангенциальное ускорение точки:

Подставим численные значения в системе СИ:

м/с2 = 6 см/с2

Ответ: 6 см/с2

На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом R=5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой m=0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь S=1,8 м за время t=3 с. Определить момент инерции маховика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.

Дано: R = 5 см = 0,05 м; m = 0,4 кг; S = 1,8 м; t = 3 с

Найти: J

Решение:

       Основное уравнение динамики вращательного движения для маховика имеет вид:        

       ,                                                                                (1)

где ε — угловое ускорение; М — момент силы, действующей на маховик;

J — момент инерции маховика

       Линейное ускорение груза а равно тангенциальному ускорению точек шкива, лежащих на его поверхности, и связано с угловым ускорением ε маховика и шкива соотношением:

где R — радиус шкива.

       Вращающий момент М, действующий на маховик, равен произведению силы натяжения Т шнура на радиус шкива:

       Силу натяжения шнура найдем из 2 закона Ньютона.

       Предварительно заметим, что, считая шнур невесомым и нерастяжимым, согласно 3 закону Ньютона силы натяжения, действующие со стороны шнура на маховик (Т′ на рисунке) и на груз (Т на рисунке) одинаковы, поэтому далее будем использовать обозначение Т в обоих случаях.

       На груз действуют две силы (см. рисунок): сила тяжести mg, направленная вниз, и сила натяжения шнура Т, направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное дви­жение груза.

По второму закону Ньютона в проекции на ось у (направлена вниз):

       .

Тогда

       Таким образом, вращающий момент M можно записать:

       .

Поскольку движение груза прямолинейное равноускоренное без начальной скорости, то пройденный им путь и ускорение связаны соотношением:

       , откуда выразим ускорение: .

       Выражаем момент инерции маховика из (1) и подставляем выражения для момента силы М и углового ускорения ε:

       .

       Подставляем численные значения:

        кг⋅м2

       Ответ: 0,0235 кг⋅м2

Человек массой 70 кг находится на корме лодки, находящейся в озере. Длина лодки 5 м и масса 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние человек передвинется относительно дна?

Дано: m = 70 кг; M = 280 кг; L = 5 м

Найти: s

Решение:

       Воспользуемся законом сохранения импульса для системы человек – лодка (точнее, мы рассматриваем проекцию импульса системы на горизонтальную ось х, проекция силы тяжести на эту ось равна нулю, и систему можно считать замкнутой).

       Будем рассматривать систему отсчета, связанную с дном озера, это неподвижная система отсчета.

       В начальный момент времени импульс системы равен нулю, лодка и человек находятся в состоянии покоя. В следующий момент времени человек начинает движение со скоростью υ относительно дна, а лодка  - со скоростью u относительно дна, направленной в противоположную сторону.

       Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось будет иметь вид:

       .

       Отсюда выразим отношение скоростей:

       Относительно лодки человек двигается со скоростью .

Двигаясь с постоянной (предположение) скоростью, человек проходит относительно лодки расстояние, равное длине лодки: .

       Время движения .

       За это время относительно дна человек пройдет расстояние:

       .

       Подставим численные значения:

        м

Ответ: 6,67 м

Платформа в виде диска, радиус которого 1 м и массой 200 кг, вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая 1 об/с. На краю платформы стоит человек массой 50 кг. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если человек перейдет на полметра ближе к центру.

Дано: R = 1 м; m1 = 200 кг; m2 = 50 кг; n = 1 об/с; ΔR = 0,5 м

Найти: n′

Решение:

       По закону сохранения момента импульса:

  (1)

где J1 — момент инерции платформы; J2 — момент инерции че­ловека, стоящего на краю платформы; — угловая скорость платформы с человеком, стоящим на краю;

J2' — момент инерции человека,; ω′— угловая скорость платформы с человеком, перешедшим на полметра ближе к центру.

Момент инерции платформы рассчитываем как для диска:

Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки.        J2=m2R2;         

Угловая скорость и частота вращения связаны соотношением:

Подставляем все в формулу (1):

       

Подставляем числовые значения:

об/с

Ответ: 1,33 об/с

В баллоне объемом 15 литров находится аргон под давлением 600 кПа и температуре 300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до 400 кПа, а температура установилась 260 К. Определить массу аргона, взятого из баллона.

Дано: Ar (μ = 40 г/моль = 4⋅10-2 кг/моль); V = 15 л = 15⋅10-3 м3;

       p1 = 600 кПа = 6⋅105 Па; p2 = 400 кПа = 4⋅105 Па;

       T1 = 300 К; T2 = 260 К

Найти: Δm

Решение:

       Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Клапей­рона — Менделеева):

        ,                                                                        (1)

где m — масса газа; μ — его молярная масса; R = 8,31 Дж/(моль⋅К) –  универсальная га­зовая постоянная; Т – температура газа.

       Запишем уравнение (1) для начального и конечного состояния аргона:

       

       

       Выразим из этих уравнений массу:

       ;        

       Найдем разность:

       

       Подставим численные значения, выраженные в системе СИ:

       

Ответ: 0,07 г

Вычислить удельную теплоемкость воздуха cp, считая в его составе 20% кислорода и 80% азота.

Дано: w1 = 0,2; μ1 = 32 г/моль (кислород); w2 = 0,8; μ1 = 28 г/моль (азот)

Найти: cp

Решение:

       Чтобы найти удельную теплоемкость смеси газов, выразим теплоту, необходимую для нагревания смеси на ΔT при постоянном давлении p двумя способами.

       1) ,

где сp — удельная теплоемкость смеси;

m1 — масса кислорода; m2 — масса азота

       2)

где сp1 и сp2 — удельные теплоемкости кислорода и азота соответст­венно.

Приравняв, получим:

Заметим, что массовые доли составляющих смеси выражаются отношениями:

;        

       Таким образом:

       Обе составляющих смеси являются двухатомными газами, для них удельные теплоемкости выражаются соотношениями:

       ,

где μ — молярная масса газа; R = 8,31 Дж/(моль⋅К) –  универсальная га­зовая постоянная; i – число степеней свободы молекулы, которое для двухатомного газа = 5.

       

       Подставим числовые значения:

        Дж/(кг⋅К)

Ответ: 764 Дж/(кг⋅К)

10 г кислорода находятся под давлением 300 кПа и температуре 283 К. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем 10 л. Найти количество теплоты, полученное газом, изменение внутренней энергии газа и работу, совершенную газом при расширении.

Дано: m = 10 г = 10-2 кг; p = 300 кПа = 3⋅105 Па; T1 = 283 К;

       μ = 32 г/моль = 3,2⋅10-2 кг/моль (кислород); V2 = 10 л = 10-2 м3

Найти: Q, ΔU, A

Решение:

       Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде

       Q=ΔU+A,

где Q – количество теплоты, сообщённое газу;

       ΔU = — изменение его внутренней энергии;

А — работа, совершаемая газом против внешних сил.

При изобарном процессе (давление p=const):

Работа газа A = pΔV = p(V2 –V1);

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона:

 

       Для решения задачи надо из уравнения Менделеева-Клапейрона найти конечную температуру газа:

       

Тогда

Таким образом: ;

Молярные теплоемкости  при постоянной объеме и постоянном давлении зависят от числа степеней свободы молекулы газа и соответственно равны

;                

i – число степеней свободы, кислород – двухатомный газ, i = 5.

Таким образом, искомые величины задаются соотношениями:

ΔU =

Произведем вычисления:

Дж =

= 2,265 кДж ≈ 2,3 кДж

кДж ≈ 5,7 кДж

≈ 8,0 кДж

Ответ: Q ≈ 8,0 кДж, ΔU ≈ 5,7 кДж, A ≈ 2,3 кДж

Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в процессе адиабатического расширения объем газа увеличился в 4 раза. Определить термический КПД цикла.

Дано: Многоатомный идеальный газ; цикл Карно;

Найти: η

Решение:

КПД цикла Карно

,

где T1 — температура нагревателя; T2 — температура охладителя.

Температуры и объемы газа, совершающего адиа­батный процесс, связаны между собой соотношением

,

где — показатель адиабаты

Для многоатомного газа i = 6, γ = 1,33.

       Таким образом, термический КПД цикла:

        или 37%

Ответ: η = 37%

Расстояние d между двумя точечными зарядами Q1 =8 нКл и Q2=-5,3 нКл равно 40 см. Вычислить напряженность и потенциал поля в точке, лежащей посередине между зарядами.

Дано:  d = 40 см = 0,4 м; Q1 =8 нКл = 8⋅10-9 Кл; Q2=-5,3 нКл = 5,3⋅10-9 Кл;

       a = d/2

Найти: E; φ

Решение:

       Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда:

       .

r — расстояние между зарядами; ε — диэлектрическая проницаемость среды; ε0 — электрическая постоянная:

.

       Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме первым и вторым зарядами, соответственно равны

                                               (1)

       Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей: напряженность Е результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей: Е=E1+Е2+...+Еn.

       Поскольку заряд Q1 – положительный, а Q2 – отрицательный, то вектора Е1 и Е2 сонаправлены, как показано на рисунке. Поэтому напряженность поля (ее модуль) в заданной точке определяется алгебраической суммой:

Подставляем числовые значения:

В/м = 3кВ/м

       Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда:

       .

       При суперпозиции полей потенциалы складываются алгебраически, поэтому в заданной точке:

       

       Подставляем числовые значения:

        В

Ответ: E = 3 кВ/м; φ = 121 В

На двух бесконечных параллельных плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ1 и σ2 (см. рис.). Требуется: 1)используя теорему Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции электрических полей, найти зависимость Е(x) напряженности электрического поля от расстояния для трех областей: I, II, III. Принять σ1=2σ, σ2=σ; 2)вычислить напряженность Е в точке, расположенной слева от плоскостей, и указать направление вектора Е. Принять σ=0,1мкКл/м2; 3)построить график Е(x).

Дано: σ1=2σ, σ2=σ; σ=0,1 мкКл/м2 = 10-7 Кл/м2

Найти: Е(х)

Решение:

       Теорема Остроградского — Гаусса:

       Поток вектора напряженности Е через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Ql, Q2, . . ., Qn, определяется алгебраической суммой зарядов, заключенных внутри этой поверхности

       ,

где — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; п — число зарядов.

       Пользуясь теоремой, найдем поле одной бесконечной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью σ.

       Рассмотрим поверхность – цилиндр, как показано на рисунке. Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т. к. вектор нормали в этом случае перпендикулярен направлению вектора напряженности (и скалярное произведение равно нулю). Поток вектора напряженности через выбранную поверхность равен потоку через основания:

       Заряд, охватываемый поверхностью, равен:

       Таким образом, полагая ε = 1, имеем:

       

       Рассмотрим две плоскости, направления векторов напряженности в разных областях показаны на рисунке.

       Запишем принцип суперпозиции полей:

       

       

       

В скалярном виде:

В/м=16,95 кВ/м

В/м = 5,65 кВ/м

В/м=16,95 кВ/м

       График Е(х) будет выглядеть, как показано ниже на рисунке, но во второй области разность положительная и отрезок должен идти выше оси х.

Катушка и амперметр соединены последовательно и присоединены к источнику тока. К зажимам катушки присоединен вольтметр сопротивлением RV =1 кОм. Показания амперметра I=0,5 А, вольтметра U= 100 В. Определить сопротивление R катушки. Сколько процентов от точного значения сопротивления катушки составит погрешность, если не учитывать сопротивления вольтметра?

Дано: RV =1 кОм; I=0,5 А; U= 100 В.

Найти: R; ΔR/R (%)

Решение:

       Так как катушка и вольтметр соединены параллельно, их общее сопротивление Rсум находим из уравнения:

       .

       

       По закону Ома для участка цепи:

       

       Выражаем сопротивление катушки:

       

        Ом

       Если не учитывать сопротивление вольтметра, то сопротивление катушки:

        Ом

Погрешность или 20%

Ответ: R = 250 Ом; ΔR/R = 0,2 (20%)

Сила тока в проводнике сопротивлением R=12 Ом равномерно убывает от I0=5 А до I=0 в течение времени t=10 с. Какое количество теплоты Q выделяется в этом проводнике за указанный промежуток времени?

Дано: R = 12 Ом; I0 = 5 А; I = 0; t =10 с

Найти: Q

Решение:

       Закон Джоуля – Ленца: Q=I2Rt, где Q - количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t.

       Если сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в дифференциальном виде:

       

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В на­шем случае:

       

где k - коэффициент пропорциональности, равный отношению приращений силы тока к интервалу времени, за который произошло это приращение:

       

Тогда                                                (1)

Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный промежуток времени Дt, выражение (1) следует проинтегрировать в пределах от 0 до t = Δt:

       =

       

       Подставляем числовые значения:

        Дж = 1 кДж

Ответ: Q = 1 кДж