ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Интеллектного УПРАВЛЕНИЯ на основе РАЗВИТИЯ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
,
Вычислительный центр им. РАН, *****@***ru
Елецкий государственный университет им. , *****@***ru
Предложены условия устойчивости динамической модели интеллектного управления на основе развития метода функций Ляпунова.
Ключевые слова: устойчивость, динамическая модель интеллектного управления, функция Ляпунова.
Введение
При исследовании динамических моделей актуальной проблемой является изучение устойчивости [1–10]. Одним из методов решения указанной проблемы является второй метод Ляпунова [4, 5, 7, 9, 10]. Для динамических моделей классическая теория устойчивости развивалась, начиная с работ [11], [12], А. Пуанкаре [13], [14], в работах [15], [4], [5] и в работах других отечественных и зарубежных ученых.
В [4] получены необходимые и достаточные условия устойчивости решений нечетких дифференциальных уравнений с помощью обобщенных функций Ляпунова. В работах [7, 9] на основе развития прямого метода Ляпунова установлены условия устойчивости моделей предикатного управления, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Условия устойчивости модели Такаги–Суджено на основе функций Ляпунова даны в [10]. В настоящей работе получены условия равномерной устойчивости динамической модели интеллектного управления с помощью метода дивергентных функций Ляпунова. Указанный метод основан на совместном использовании функций Ляпунова и дивергентных функций поля скоростей.
Предварительные сведения
Рассматривается динамическая модель, описываемая системой
, 
, 
, 
, (1)
где 
, f(x) – нелинейная монотонно возрастающая функция, b – n-мерный вектор, u – скалярная переменная управления, 
, F(x) – нелинейная функция, определяемая в виде 
= L2
, символ ° означает операцию композиции; L2 – оператор дефаззификации; 
= 
*
– степень принадлежности пары (x, u) к правилу П(i), 
– функция принадлежности u к множеству Ui, 
– результат агрегирования степеней принадлежности входа xi к множеству Xi, символ * означает операцию логического минимума или алгебраического произведения; 
*
*…*
, i = 1, …, n, – нечеткий выход, соответствующий входу 
; 
– база правил логического регулятора. Результат действия F(x) соответствует управляющему воздействию на объект управления.
Для исследования динамической модели (1) используется ряд результатов, полученных для нелинейного дифференциального уравнения
, h ∈ H ⊂ Rk, (2)
которое определено на множестве B(r) × H, где B(r) = {x ∈ Rn: 
}, r > 0.
Предполагается, что функция 
удовлетворяет условию Липшица относительно x = (x1, x2, …, xn) для каждого h ∈ H ⊂ Rk, т. е. ∃ L = L(h) > 0: 
∀ x1, x2 ∈ B(r), и решения x(t, x0, h) уравнения (2) непрерывно зависят как от начальной точки x0 = x(0, x0, h), так и от параметра h = {h1, h2, …, hk} для k ≥ 1.
Решение x = 0 называется равномерно устойчивым относительно множества H ⊂ Rk, если
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) |x0|< δ ⇒ | x(t, x0, h)|< ε ∀ t ∈ R+, ∀ h ∈ H. (3)
В (3) число δ зависит от ε, но не зависит от выбора точки h ∈ H.
Показано [7], что если тривиальное состояние равновесия x = 0 уравнения (2) асимптотически устойчиво для каждого h, принадлежащего компактному множеству H ⊂ Rk, то состояние равновесия x = 0 уравнения (2) равномерно устойчиво относительно множества H.
Известно, что если z – асимптотически устойчивое состояние равновесие дифференциального уравнения вида 
и V(x) – функция Ляпунова, для которой выполнено условие 
, α1 > 0, α2 > 0, то существует множитель Эйлера σ(x), для которого дивергенция div(σ(x) f(x)) является отрицательно определенной. Функцию Ляпунова, обладающую указанным свойством, назовем дивергентной функцией Ляпунова для состояния равновесия z.
Для модели, описываемой уравнением
, (4)
где поле скоростей (G1, ..., Gn) непрерывно и удовлетворяет в некоторой области Q ⊂ Rn фазового пространства Rn условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши, справедливы следующие утверждения:
1) если div G(x) ≤ 0 в окрестности состояния равновесия x = (x1, ..., xn) = 0 системы (4) и существует дивергентная функция Ляпунова в силу указанной системы, то состояние равновесия x = 0 асимптотически устойчиво; 2) если div [σ(x) G(x)] ≤ 0 в окрестности состояния равновесия x = 0 системы (4), где σ(x) – множитель Эйлера, и существует дивергентная функция Ляпунова в силу (4), то состояние равновесия x = 0 асимптотически устойчиво.
Вопросы устойчивости моделей интеллектного управления с помощью дивергентных функций Ляпунова рассмотрены в [7].
Метод дивергентных функций Ляпунова для анализа устойчивости динамической модели предикатного управления
Управляемую модель (1) можно представить в виде
, u ∈ U ⊂ R., (5)
Предложены следующие условия устойчивости.
1. Пусть div 
≤ 0 в окрестности состояния равновесия x = 0 модели (5) и существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия x = 0. Тогда это состояние равновесия модели (5) асимптотически устойчиво для каждого u ∈ U.
2. Пусть div [σ(x) 
] ≤ 0 в окрестности состояния равновесия x = 0 модели (5), где σ(x) – множитель Эйлера, и пусть существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия x = 0. Тогда это состояние равновесия асимптотически устойчиво для каждого u ∈ U.
3. Если состояние равновесия x = 0 модели (5) асимптотически устойчиво для каждого u, принадлежащего компактному множеству U ⊂ R, то состояние равновесия x = 0 модели (5) равномерно устойчиво относительно множества U.
Дивергенцию поля скоростей можно записать в виде:
(6)
Из (6) и приведенных выше условий устойчивости вытекают и другие условия устойчивости, сформулированные ниже.
4. Пусть для модели (5) в окрестности состояния равновесия x = 0 выполнено неравенство div g(x, u) ≤ 0 и существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия x = 0. Тогда это состояние равновесия модели (5) асимптотически устойчиво для каждого u ∈ U.
5. Если выполняются условия 4 для каждого u, принадлежащего компактному множеству U ⊂ R, то состояние равновесия x = 0 модели (5) равномерно устойчиво относительно множества U.
С помощью (6) и свойств σ(x) можно записать
div
+ σ div g(x, u). (7)
Из условий 2, 3 и свойства (7) вытекают следующие условия устойчивости.
6. Пусть для модели (5) в окрестности состояния равновесия выполнено неравенство
и пусть существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия x = 0. Тогда это состояние равновесия модели (5) асимптотически устойчиво для каждого u ∈ U.
7. Если выполняются условия 6 для каждого u, принадлежащего компактному множеству U ⊂ R, то состояние равновесия x = 0 модели (5) равномерно устойчиво относительно множества U.
Отметим, что вопросы устойчивости динамических моделей, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, с помощью индексно-дивергентного метода рассмотрены в [8].
Выводы
Полученные в настоящей работе условия устойчивости динамической модели интеллектного управления на основе метода дивергентных функций Ляпунова могут быть использованы при изучении устойчивости движения динамических моделей при постоянно действующих возмущениях, а также при решении ряда задач математической теории управления.
Работа выполнена в рамках проекта РФФИ № 13-08-00710-а.
Литература
1. ечеткое моделирование и управление. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.
2. Афанасьев системы управления с неполной информацией. Алгоритмическое конструирование. М.: КомКнига, 2007.
3. Cправочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.
4. Шестаков прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: УРСС, 2007.
5. Меренков моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем. Дисс. … докт. физ.-матем. наук. М.: РГОТУПС, 2003.
6. Дружинина -дивергентный метод исследования устойчивости нелинейных динамических систем. М.: ВЦ РАН, 2007.
7. , Дружинина и анализ устойчивости некоторых классов систем управления. М.: ВЦ РАН, 2011.
8. , Масина устойчивости управляемых технических систем индексно-дивергентным методом // Нелинейный мир. 2011. Т. 9. № 10. С. 677–682.
9. , , Масина прямого метода Ляпунова исследования устойчивости систем предикатного управления // Труды X Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление». Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2012. Т. 2. С. 589–600.
10. , Дружинина мягких функций Ляпунова исследования устойчивости дифференциальных уравнений, моделирующих предикатную систему Такахи–Суджено // Известия РАЕН. Дифференц. уравнения. 2012. Вып. 17. С. 47–53.
11. Ляпунов задача об устойчивости движения. М.–Л.: Гостехиздат, 1950.
12. О прочности движения // Уч. зап. Московского ун-та. 1882. Вып. 4. С. 1–104.
13. збранные труды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1971, 1972.
14. Четаев движения. Работы по аналитической механике. Изд-во АН СССР, 1962.
15. Красовский задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.
RESEACH STABILITY OF DINAMICAL MODEL OF INTELLIGENT CONTROL ON THE BASIS OF DEVELOPMENT OF SECOND LYAPUNOV METHOD
Druzhinina O. V., Masina O. N.
Dorodnicyn Computing Center of RAS, *****@***ru
Yelets State University after I. A. Bunin, *****@***ru
Stability conditions of dynamical model of intelligent control on the basis of development of Lyapunov functions method are given.
Кеуwords: stability, dynamical model of intelligent control, Lyapunov function.
