Лекция 13. применение частных производных

ЛЕКЦИЯ 13. ПРИМЕНЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

13.1  Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть функция дифференцируема в точке , тогда существует касательная плоскость к графику функции в точке .

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , принадлежащей этой поверхности, определяется уравнением

.  (13.1)

Нормальный вектор касательной плоскости называется  нормалью к поверхности в точке .

Тогда уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид

.  (13.2)

Если уравнение поверхности задано уравнением , то уравнение касательной плоскости в точке , принадлежащей этой плоскости, определяется уравнением

,  (13.3)

а уравнение нормали имеет вид

.  (13.4)

Пример 13.1. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к параболоиду в точке .

Решение.

Здесь

,  .

,  .

Пользуясь формулами (13.1) и (13.2), получим уравнение касательной плоскости

или

и уравнение нормали

.

13.2  Экстремум функции многих переменных

Экстремум функции многих переменных рассмотрим на функции двух переменных.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая -окрестность точки , для всех точек которой выполняется неравенство: или   (, ) (рис.61).

Рисунок 61

Точки максимума и минимума называются точками экстремума (экстремальными точками), а значение функции в такой точке называется экстремумом функции.

Теорема (необходимый признак экстремума дифференцируемой функции). Если функция дифференцируема в точке и достигает в ней экстремум, то все её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е.

  или  .

Доказательство.

Предположим, . Тогда - функция одной переменной в точке будет иметь экстремум.

Используя необходимое условие экстремума функции одной переменной, получим   или  .

Аналогично можно показать, что .

Теорема доказана.

Точка называется стационарной точкой для функции , если её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю.

Отсюда следует, что всякая экстремальная точка дифференцируемой функции будет и стационарной. Обратное утверждение неверно, т. е. не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Например, точка является стационарной для функции , но не является экстремумом, т. к. в любой окрестности точки будут находиться как точки в окрестности , так и точки в окрестности .

В точке экстремума функция не обязательно должна быть дифференцируемой.

Например, в точке функция имеет минимум, однако её частные производные в этой точке не существуют.

Следствие. Точками экстремума могут быть либо стационарные точки, либо точки, в которых функция не дифференцируема.

Все эти точки называются критическими и только они являются «подозрительными» на экстремум.

Все сказанное обобщается на функцию любого числа переменных.

Рассмотрим достаточный признак экстремума дифференцируемой функции.

Пусть точка является стационарной, причем в этой точке и некоторой её -окрестности функция имеет частные производные до второго порядка включительно.

Введем обозначения значений частных производных второго порядка в точке . Пусть

,  ,  .

Обозначим .

Теорема 1.  Если в стационарной точке   > 0, то функция в точке имеет экстремум, причем при – max, при – min.

Теорема 2.  Если в стационарной точке   < 0, то функция в точке экстремума не имеет.

Замечание. Если в стационарной точке   = 0, то вопрос о наличии экстремума в ней остается открытым.

Вывод. Чтобы исследовать функцию на экстремум, надо:

Найти стационарные (критические) точки . Найти , . Решить систему:

Пусть   и  – решения системы, тогда и - стационарные точки.

Проверим точки на экстремум с помощью достаточного условия. Найдем  ,  ,  .

Для каждой стационарной точки найдем значения , , , (например, для точки ).

,  ,  .

Вычислим  . Для определения точек экстремума воспользуемся следующей таблицей

Δ	А	Вывод
+	+	min
+	–	max
–	экстремума нет
0	дополнительное исследование

Пример 13.2.  Исследовать на экстремум функцию

.

Решение.

Найдем стационарные (критические) точки.

1)  ,  .

2)                 

                         

и - стационарные точки.

Используем достаточное условие экстремума функции.

3)  ,  ,  .

4)  Для точки :

,  ,  .

Так как

,

в точке экстремума нет.

Для точки имеем:

,  ,  .

.

Так как и , то в точке функция имеет минимум,

.

13.3  Наибольшее и наименьшее значение функции

Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой, ограниченной области , тогда она имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой функции в ограниченной замкнутой области , надо:

найти все критические точки функции, принадлежащие области ; вычислить значения функции в этих критических точках; найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; сравнить все полученные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример 13.3.  Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

Решение.

Найдем стационарные точки, лежащие внутри треугольника .

,

.

Так как  ,   внутри треугольника (рис.62), то получаем систему уравнений

Решением системы является точка  . Найдем значение функции в этой точке:  .

Рисунок 62

2)        Найдем значения экстремума функции на границах области .

при :  -  экстремума нет;

при :  -  экстремума нет;

при :  , 

,

,

,        

       

Точка  ,  .

Точка  ,  .

3) Сравним полученные значения функции и выберем наибольшее и наименьшее значения.

,

,

  на сторонах и .

Таким образом, получаем , .

13.4  Производная по направлению

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки и произвольный единичный вектор .

Для нахождения скорости изменения функции в точке в направлении вектора введем понятие производной по направлению.

Рисунок 63

На прямой, совпадающей с направлением вектора , возьмем точку (рис.63). Функция получит при этом приращение

.

Производной функции в точке по направлению вектора называется предел отношения при , если он существует, и обозначается

.

Пусть функция дифференцируема в точке , тогда

,

где и - бесконечно малые функции при .

Обе части равенства разделим на . Учитывая, что

, ,

получим

.

В этом равенстве, перейдя к пределу при , получим формулу производной по направлению

.  (13.5)

Аналогично определяется производная по направлению для функции трех переменных :

.  (13.6)

Пример 13.4. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке .

Решение.

Найдем вектор и его направляющие косинусы.

, ,

следовательно,

.

Найдем значения частных производных функции в точке .

,

.

Следовательно, по формуле (13.5) имеем

.

13.5  Скалярное поле. Градиент скалярного поля

Если указан закон, по которому каждой точке области пространства соответствует определенное число , то говорят, что в области задано скалярное поле.

Если в пространстве выбрана некоторая декартовая система координат, то задание скалярного поля эквивалентно заданию функции трех переменных .

Поле называется плоским, если в некоторой декартовой системе координат оно задается функцией вида .

Градиентом скалярного поля называется вектор , направленный по нормали к поверхности уровня поля в сторону возрастания поля и численно равный наибольшей производной по направлению.

В пространстве градиент вычисляется по формуле

  или  .

Наибольшая скорость изменения функции в точке численно равна

.  (13.7)

Пример 13.5. Найти градиент и наибольшую скорость возрастания поля в точке .

Решение.

Вычислим значения частных производных в точке .

Тогда по формуле (13.7) имеем  .

Наибольшая скорость возрастания поля равна

.