Компьютерное моделирование стохастических фракталов
Так как стохастические фракталы не обладают определенным алгоритмом построения, но имеют общую схожесть и зависимость, то некоторыми из ярких примеров таких фракталов являются объекты природы: кусты и деревья. Все они похожи друг на друга, но каждый немного отличается друг от друга.
Казалось бы, растительность, созданная природой, не могут иметь ничего общего с математикой, но на самом деле вполне возможно построить их математическую модель.
Для построения этих моделей использовалась рабочая среда PascalABC. Созданная программа используется для разрешения не менее 1280X1024. Все случайности в построении создаются с помощью генератора случайных чисел. Также были созданы две модели стохастических фракталов: простая (дерево), сложная (куст)*.
*Стоит сказать, что фракталы затрагивают такой важный раздел математики как графы. Графы – это набор вершин (точек) на плоскости (возможно и в пространстве), связанных парами между собой. Сами точки называются узлами или вершинами, а их связи – дугами или ребрами.
Первая модель – дерево.
Представим, что наше дерево состоит из ствола, веток и корневой системы, о которой будет сказано позже. Изобразим примерную схему одного из полученных деревьев.
1,2, 3, 4, 5 – сегменты ствола, места, от которых могут отходить ветви
6,7,8 – ветви дерева, отходящие от ствола
9 – основание дерева, из которого растет ствол и корневая система
При построении такого фрактала используются заданные свойства, например, кол-во сегментов задается случайно, но имеет границы от 2 до 10 для каждого дерева, также от каждого сегмента не может отходить больше двух ветвей, по одной по каждую сторону; угол, на который отрастают ветви тоже задан изначально, но он не играет большой роли. В принципе, это все изначальные данные, используемые для данного стохастического фрактала, дальше в него вносится случайность, задаваемая генератором случайных чисел, который может, как и создать ветвистое дерево, так и создать дерево-карлик. Также корневая система и «верхняя часть» дерева взаимосвязаны, чем больше ствол, тем гуще корни.
Данный фрактал довольно прост как стохастический, потому что его алгоритм довольно понятен, но его все-таки можно назвать стохастическим, потому что на его построение влияет случайность.
Несколько «скриншотов» работы программы по построению данного фрактала:
Вторая модель – куст.
Эта модель имеет что-то общее с деревом и у неё не такое принципиально другое строение. Здесь изображена схема одного из полученных фракталов
1 – основание куста
2-15 – ветви
При построении данного фрактала тоже используются заданные свойства, например, основание куста всегда является единственной точкой, количество новых вершин и ребер, связанных с предыдущей вершиной задано введенной формулой, а также угол ребра (ветви) ограничен полуплоскостью, чтобы ветви не «уходили» в землю. Зато угол в этой будет зависеть и от случайности, вычисляемой компьютером с помощью генератора чисел, также длина каждой ветви задается с помощью генератора чисел (следовательно, ограничения тоже присутствуют). Поэтому при запуске программы она будет выдавать разный результат, и такой фрактал можно назвать стохастическим, так как в нем есть алгоритм построения, но также и присутствует случайность.
Несколько «скриншотов» работы программы по построению данного стохастического фрактала:
Корневая система для обеих моделей одинакова, но тоже является стохастическим фракталом. Она имеет заданные свойства, например, корни растут только в одной полуплоскости, а от каждой ветви отходит только две новых. Случайность здесь заключается в угле, на который будет отходить новая ветвь, придающая данному фракталу стохастические свойства.
При изучении полученных фракталов и изменении входных данных можно выяснить, что случайность играет большую роль в их построении. Конечно, заданные свойства тоже влияют на них, но изменив входные данные мы можем сделать деревья и кусты выше или ниже, гуще или реже, но мы не можем сделать так, чтобы в n-ом месте всегда росла ветвь или, чтобы i-ая ветка куста отходила на определенный градус. В этом и заключается вся суть стохастических фракталов, что, имея заданный алгоритм, нельзя получить одинаковый результат, случайность повлияет на них, иногда до неузнаваемости, и поэтому для таких фракталов создано отдельное место во фрактальной геометрии, но при этом они все же остаются фракталами.
