ЛЕКЦИЯ №16

Тема: Случайные величины.

  План:

Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики  дискретной случайной величины.

Определение. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

  Определение. Дискретной называют случайную величину, которая  принимает отдельные возможные значения с определенными вероятностями.

  Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

  Биноминальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

  Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

M(X)= X1P1 + X2 P2 +…+ XnPn

Свойства математического ожидания:

Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:  M(C)=C Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:  M(CX)=CM(X) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY)= M(X) M(Y)

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: 

M(X+Y)= M(X)+ M(Y)

  Теорема. Математическое ожидание  M(X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

M(X)=np.

  Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M(X-M(X))2

  Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:

D(X)=M(X2)-(M(X))2

  Свойства дисперсии:

Дисперсия постоянной величины равна нулю:  D(C)=0 Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:  D(CX)=C2D(X) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих величин:  D(X+Y)= D(X)+ D(Y) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равно сумме их дисперсий:

D(X-Y)= D(X)+ D(Y)

  Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:  D(X)=npq

  Определение. Cредним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

у(Х)=