Применение производной к исследованию функции

Применение производной к исследованию функции

Пусть y=f(x) –заданная функция. Исследование функции и построение ее графика проводится по следующей схеме.

1. Находится область определения функции, устанавливаются множества точек непрерывности и разрыва заданной функции, а так же точки пересечения графика функции с осями координат.

2. Исследуется функция на четность-нечетность и тем самым устанавливается возможную симметрию графика функции (относительно оси или относительно начала координат). Для этого записывается выражение

и сравниваем его :

3. Исследуется функция на периодичность.

4. Находятся интервалы возрастания и убывания функции, которые разделяются ее локальными экстремумами (с помощью первой производной y′=f′(x)):

- локальный максимум разделяет интервалы возрастания и убывания;

- локальный минимум разделяет интервалы убывания и возрастания, следующие в положительном направлении оси .

Функция f  возрастает на интервале   Функция  f убывает на интервале

5. Строится график функции.

ПРИМЕР 1: Исследовать функцию  и построить график.

Решение:

Функция определена на всей числовой оси.

Точки пересечения с осью : =0,

.

Точки пересечения с осью : .

.

.

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция не периодична.

Находим критические точки:

.

Рассматриваемая функция имеет две критические точки, которые разбивают область определения на три интервала. Рассмотрим поведение функции на этих интервалах и представим это поведение в виде таблицы:

x		-3		-1
	+	0	-	0	+
	0	-4
max	min

Строим график функции:

ПРИМЕР 2: Исследовать функцию  и построить график.

Решение:

Функция определена на всей числовой оси.

Точки пересечения с осью :

.

Точки пересечения с осью :

.

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодична.

Находим критические точки:

.

Рассматриваемая функция имеет две критические точки, которые разбивают область определения на три интервала. Рассмотрим поведение функции на этих интервалах и представим в виде таблицы:

x		-1		3
	-	0	+	0	-
	-3	1
min	max

Строим график функции:

ПРИМЕР 3: Исследовать функцию  и построить график.

Решение:

Функция определена на всей числовой оси.

Точки пересечения с осью :

.

Точки пересечения с осью :

.

Функция четная.

Период функции равен .

Находим критические точки:

.

Так как функция  периодична и ее период равен , поэтому  достаточно рассмотреть поведение функции на интервале равном ее периоду.

x			0
	0	+	0	-	0
	1	1	1
min	max	min

Строим график функции:

ПРИМЕР 4: Функция определена на промежутке (-2;7). На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку локального минимума функции на промежутке (-2;7).

Решение: Найдем по данному графику точки, в которых производная равна 0, это точки . В точке производная меняет свой знак с минуса на плюс, а в точке производная меняет свой знак с плюса на минус. Следовательно, точкой минимума является точка .

Ответ: .