Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. Основной способ решения тригонометрических неравенств состоит в их сведении к неравенствам вида sinx ∨ a, cosx ∨ a, tgx ∨ a, ctgx ∨ a, (1) где a ∈ R, символ "∨" означает знак сравнения и заменяет любой из знаков ">", " ≥ ", "<", " ≤" и использовании следующих утверждений. Утверждение 1. Множество решений неравенства sinx > a (2) есть R, если a < -1; (arcsina + 2πk; π - arcsina + 2πk), если -1 ≤ a < 1; Пустое множество, если a ≥ 1. Утверждение 2. Множество решений неравенства sinx < a (3) есть R, если a > 1; (-π - arcsina + 2πk; arcsina + 2πk), если -1 < a ≤ 1; Пустое множество, если a ≤ -1. Утверждение 3. Множество решений неравенства cosx > a (4) есть R, если a < -1; (2πk - arccosa; 2πk + arccosa), если -1 ≤ a < 1; Пустое множество, если a ≥ 1. Утверждение 4. Множество решений неравенства cosx < av (5) есть R, если a > 1; (2πk + arccosa; 2π(k + 1) - arccosa), если -1 < a ≤ 1; Пустое множество, если a ≤ -1. Утверждение 5. Множество решений неравенства tgx > a (6) есть Утверждение 6. Множество решений неравенства tgx < a (7) есть Утверждение 7. Множество решений неравенства ctgx > a (8) есть (πk; arcctga + πk). Утверждение 8. Множество решений неравенства ctgx < a (9) есть (arcctga + πk; π(k + 1)) Замечания. 1. Если знак неравенства (2)-(9) нестрогий, то во множестве решений неравенства включается также и множество решений соответствующего уравнения. 2. Утверждения 1-8 легко доказать используя графики и свойства соответствующих тригонометрических функций. Упражнение 1. Решить неравенства 1) 7) ctg2x - ctgx - 2 ≤ 0; 2) 8) 3) 9) 4) -2 ≤ tgx < 1; 10) 4sinxcosx(cos2x - sin2x) < sin6x; 5) 2sin2x - 5sinx + 2 > 0; 11) sinxsin3x ≥ sin5xsin7x; 6) 12) sinx + sin2x + sin3x > 0. Решение. 1) Обозначив 2x = t, получим неравенство sint < 1/2 которое, согласно утверждению 2, имеет решения Отсюда, учитывая что получим или или Таким образом, множество решений исходного неравенства есть 2) Используя нечетность функции синус, получим Обозначив , получим неравенство решения которого (см. утверждение 1 и замечание 1) есть Отсюда, учитывая что получим или 3) Поскольку неравенство примет вид или Используя утверждение 3 получим Так как следует откуда Данное неравенство можно решить и иначе. 4) Используя утверждения 5 и 6, получим -2 ≤ tgx < 1 ⇔ tgx < 1, tgx ≥ -2, ⇔ 5) Обозначим t = sinx и получим квадратное неравенство 2t2 - 5t + 2 > 0 решение которого есть t < 1/2, t > 2, Отсюда следует совокупность неравенств sinx > 2, sinx < 1/2, Первое неравенство совокупности решений не имеет, а из второго получим 6) Поскольку sin4x + cos4x = (sin2x)2 + (cos2x)2 = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2xcos2x = неравенство примет вид или Так как используя утверждение 3, получим или 7) Положив t = ctgx, получим квадратное неравенство t2 - t - 2 ≤ 0 решение которого -1 ≤ t ≤ 2, откуда -1 ≤ ctgx ≤ 2. Последнее неравенство решаем используя утверждения 7 и 8 -1 ≤ ctgx ≤ 2 ⇔ ctgx ≤ 2, ctgx ≥ -1, ⇔ πk + arcctg2 ≤ x < π + πn, n ∈ Z ⇔ 8) Используя метод вспомогательного угла, получим 9) Сделаем подстановку tgx = t и решим неравенство используя метод интервалов Таким образом пролучена совокупность неравенств 0 < tgx ≤ 1, tgx < -1, которое решается используя утверждения 5 и 6 0 < tgx ≤ 1, tgx < -1 ⇔ tgx ≤ 1, tgx > 0, ⇔ 10) Используя формулы синуса и косинуса двойного аргумента получим 4sinxcosx(cos2x - sin2x) < sin10x ⇔ 2sin2x·cos2x < sin6x ⇔ ⇔ sin4x < sin6x ⇔ sin6x - sin4x > 0 ⇔ 2sinxcos5x > 0. Учитывая что 2π есть один из периодов функции f(x) = sinxcos5x и используя обобщенный метод интервалов для интервала длины 2π, получим Таким образом, множество решений данного неравенства есть обьединение множеств: 11) sinxsin3x ≥ sin2xsin4x ⇔ 1/2(cos2x - cos4x) ≥ 1/2(cos2x - cos6x) ⇔ - cos4x ≥ - cos6x ⇔ cos6x - cos4x ≥ 0 ⇔ -2sinxsin5x ≥ 0 ⇔ sinxsin5x ≤ 0. Решая последнее неравенство и аналогично предыдущему примеру получим 12) sinx + sin2x + sin3x > 0 ⇔ (sinx + sin3x) + sin2x > 0 ⇔ 2sin2xcosx + sin2x > 0 ⇔ ⇔ sin2x(2cosx + 1) > 0 ⇔ sin2x > 0, cosx > -1/2, sin2x < 0, cosx < -1/2, ⇔ Упражнения для самостоятельного решения Решить неравенства tg3x + tg2x - tgx - 1 > 0. tgx + ctgx ≤ 2. sin2x < cosx. cosx + cos2x + cos3x ≥ 0. 6sin2x - 5sinx + 1 > 0. 2sin2x + 9cosx - 6 ≥ 0. cos2x + sinx ≥ 0