Задачи

4.19. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире», они встречаются в передаваемых сообщениях в отношении 5:3. Статические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Найти вероятность того, что: а) передаваемый сигнал принят; б) принятый сигнал – «тире».

Решение. Пусть событие А={передаваемый сигнал принят (без искажения)}. Это событие возможно, если при передаче сигнала не было искажения. Вероятность принятия сигнала зависит от того, передавали сигнал «точка» или «тире».

Рассмотрим гипотезы

Н1={передавали сигнал «точка»},

Н2={передавали сигнал «тире»}.

Согласно условию задачи вероятности гипотез относятся как 5/3, т. е. Р(Н1)=5х, Р(Н2)=3х. По свойству вероятностей гипотез 5х+3х=1. Отсюда х=1/8 и

Находим условные вероятности. Известно, что в среднем 2/5 сообщений «точка» искажаются, только 3/5 сообщений принимаются как «точка» и 2/5 – как «тире».

Значит, вероятность получить передаваемый сигнал, если передавали сигнал «точка»:

.

Вероятность получить передаваемый сигнал, если передавали сигнал «тире»:

.

По формуле полной вероятности

.

б) Принять «тире» (событие В) можно в двух случаях: искажение при передаче «точки» и не искаженное принятое «тире». Решая аналогично п. а) получаем 

.

Ответ: а) 0,625; б) 0,5.

5.19. Детали попадают на обработку на один из трех станков с вероятностями соответственно равными: 0,2; 0,3; 0,5. Вероятность брака на первом станке равна 0,02, на втором - 0,03, на третьем – 0,01. Найти: а) вероятность того, что случайно взятая после обработки деталь – стандартная; б) вероятность обработки наугад взятой детали на втором станке, если она оказалась стандартной.

Решение. Пусть событие А={случайно взятая после обработки деталь – стандартная}. Вероятность этого события зависит от того, какой станок обрабатывал деталь.

Рассмотрим гипотезы

Н1={деталь обрабатывали на первом станке},

Н2={деталь обрабатывали на втором станке},

Н3={деталь обрабатывали на третьем станке}.

Вероятности гипотез (по условию задачи):

Условные вероятности.

Вероятность того, что деталь стандартна, если ее обрабатывали на первом станке: .

Вероятность того, что деталь стандартна, если ее обрабатывали на втором станке: .

Вероятность того, что деталь стандартна, если ее обрабатывали на третьем станке: .

По формуле полной вероятности

.

Найдем апостериорную вероятность того, что выбранная стандартная деталь обрабатывалась на втором станке, т. е. найдем .

Используем формулу Байеса:

.

Ответ: а) 0,982; б) 0,2963.