Уравнения Максвелла
Вихревое электрическое поле
Из закона Фарадея 
следует: любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток.
Следовательно, возникновение ЭДС электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Но ЭДС в любой цепи возникает только когда в ней на носители тока действуют сторонние силы – силы неэлектростатического происхождения.
Из опытов следует, что сторонние силы не связаны с тепловыми и химическими процессами в контуре. Их возникновение также нельзя объяснить силами Лоренца, так как они не действуют на неподвижные заряды.
Максвелл выдвинул гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре.
По Максвеллу, контур, в котором появляется ЭДС, играет второстепенную роль, являясь своего рода «прибором» для обнаружения этого поля.
Изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле, 
циркуляция которого:
- проекция вектора 
на направление 
.
– магнитный поток
Если поверхность и контур неподвижны, то
Из электростатики: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура равна 0:
Сравнивая последние формулы, получим принципиальное различие: циркуляция вектора 
по сравнению с циркуляцией 
не равна нулю. Следовательно, электрическое поле, возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.
Ток смещения
Если любое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: любое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.
Для установления количественных отношений между ними Максвелл ввел понятие тока смещения.
Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор.
Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор протекают токи смещения в тех местах, где отсутствуют проводники.
По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. То есть токи смещения и токам проводимости:
I=Iсм
Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора:
Поверхностная плотность заряда у на обкладках равна электрическому смещению D в конденсаторе.
Для общего случая можно записать:
Сравнивая это выражение с выражением для силы тока:
Получим:
- плотность тока смещения.
Направления вектора 
, вектора 
совпадают с направлением вектора 
.
Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно – способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.
В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых:
- плотность тока смещения
- плотность тока поляризации – тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных молекулах).
Возбуждение магнитного поля токами поляризации правомерно, так как токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости.
Название «ток смещения» является условным (исторически сложившимся). По своей сути – это изменяющееся во времени электрическое поле. Поэтому ток смещения существует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, по которым течет переменный ток, однако он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Наличие тока смещения подтверждено экспериментально .
Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости и смещения.
Плотность полного тока:
.
Полный ток в цепи переменного тока всегда замкнут, то есть на концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника есть ток смещения, который замыкает ток проводимости.
Максвелл обобщил теорему о циркуляции, введя в ее правую часть полный ток:
- обобщенная теорема о циркуляции вектора Н.
В основе теории Максвелла лежат 4 уравнения:
- обобщенная теорема о циркуляции вектора 
Магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями
– электрическое поле может быть как потенциальным, так и вихревым. Источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля. 
- теорема Гаусса для поля 
. Источниками электрического поля являются электрические заряды. Линии напряженности направлены от положительного заряда к отрицательному.
- теорема Гаусса для поля 
. 
природе не существуют магнитные заряды. Линии магнитной индукции замкнуты.
Третье уравнение – следствие первого, четвертое уравнение – следствие второго.
Переменный во времени электрический ток в соответствии с уравнением 1 создает переменное во времени вихревое магнитное поле. В соответствии с уравнением 2, возникающее переменное магнитное поле создает переменное вихревое электрическое поле. Возникшее переменное поле уже независимо от наличия тока создает переменное магнитное поле. И так далее до бесконечности.
Величины, входящие в уравнения Максвелла не являются независимыми. Существующую между ними связь отражают материальные уравнения.
, 
, 
G – удельная проводимость вещества.
Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрических и магнитных полей, так как в природе существуют электрические заряды, а магнитных зарядов нет.
Дифференциальная форма уравнений Максвелла:
Если заряды распределены в пространстве непрерывно, то интегральная и дифференциальная формы уравнений эквивалентны. Если есть поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма является более общей. Чтобы достигнуть математической эквивалентности, уравнения дополняются граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред.
, 
, 
, 
