17 УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО-СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
17.1 Общие сведения
Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил.
Продольный изгиб возникает при достижении сжимающими силами и напряжениями критического значения.
Нагрузки, при превышении которых происходит потеря устойчивости (критическое состояние) называют критическими.
Потеря устойчивости сопровождается возникновением дополнительных напряжений изгиба в поперечных сечениях стержней и является опасным для всей конструкции в целом. Таким образом, для надежной работы конструкции содержащей сжатые стержни, кроме условий прочности и жесткости необходимо выполнение условия устойчивости.
Существует три вида равновесия тел: устойчивое, безразличное и неустойчивое.
Устойчивым - называется такое равновесие, при котором тело после малого отклонения и при устранении воздействия вызвавшего это отклонение возвращается в исходное положение (рисунок 17.1, а).
Безразличным – называется такое равновесие, когда тело после отклонения остается в равновесии и в новом положении (рисунок 17.1, б).
Неустойчивым – называется такое равновесие, когда тело при малом отклонении не возвращаются в исходное положение, а наоборот удаляется от него (рисунок 17.1, в).
Рисунок 7.1
Наибольшее значение центрально-приложенной сжимающей силы, до которого прямолинейная форма равновесия стержня являлась устойчивой, называется критической силой.
При сжимающей силе меньше критической, стойка работает на сжатие, при силе больше критической стрежень работает на совместное действие сжатия и изгиба.
В реальных конструкциях критическое состояние недопустимо, так как оно приводит к разрушению системы.
17.2 Определение критической силы
Впервые решение задачи по вычислению критической силы было предложено Эйлером в 1744 году.
Для стержней с различными видами закрепления концов формула Эйлера имеет вид:
, (17.1)
где Е – модуль упругости материала стержня;
Jmin – минимальный момент инерции поперечного сечения стойки;
м – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня (рисунок 17.2);
ℓ – длина стойки;
м·ℓ – приведенная длина стержня.
Рисунок 7.2
17.3 Критическое напряжение. Гибкость стержня.
Пределы применимости формулы Эйлера
Нормальные напряжения соответствующие критической силе, называются критическими и определяются как:
, (17.2)
где 
- минимальный радиус инерции.
Отношение приведенной длины к минимальному радиусу инерции является гибкостью стержня:
. (17.3)
Гибкость – это безразмерная величина, которая характеризует сопротивляемость стержня потере устойчивости. Чем больше гибкость, тем меньше сопротивляемость стойки потере устойчивости. Гибкость л, не зависит от материала стержня, а определяется его длиной, формой, размерами сечения и условиями закрепления.
Таким образом, формулу для определения критического напряжения при продольном изгибе можно представить в виде:
. (17.4)
Данное выражение применимо только в пределах закона Гука, когда критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стойки упц, то есть, при условии:
. (17.5)
Гибкость, при которой 
, называется предельной гибкостью и обозначается 
:
. (17.6)
Применимость формулы Эйлера определяется выполнением следующего условия:
. (17.7)
График зависимости 
от 
для стержней из пластичного материала (сталей) представлен на рисунке 17.3.
Стержни условно делятся на три группы:
- стержни большой гибкости (
), для которых применима формула Эйлера; стержни средней гибкости (
); стержни малой гибкости (
). Рисунок 17.3
Для стоек средней гибкости критическое значение можно найти, используя эмпирическую формулу Ясинского:
, (17.8)
где а, в, с – коэффициенты, зависящие от свойств материала (для сталей, сплавов, дерева с=0, а для чугуна с≠0).
Для стержней малой гибкости (коротких стержней), у которых 
, разрушающихся не в результате потери устойчивости, а в результате потери прочности при сжатии, критическое напряжение при этом равно пределу текучести, т. е.
. (17.9)
17.4 Расчеты прямолинейных стержней на устойчивость
Существует три вида расчетов на устойчивость прямолинейных стоек – проектный, проверочный и силовой.
Проектный расчет, при котором определяется минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня по формуле:
, (17.10)
где Р – действующая нагрузка;
[ny] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости.
Проверочный расчет, при котором определяется действительный коэффициент запаса устойчивости ny и сравнивается с допускаемым коэффициентом, при этом используется следующее выражение:
. (17.11)
К примеру, коэффициент запаса устойчивости для различных материалов составляет:
- для сталей ny=1,8ч3,0;
- для чугуна ny=5,0ч5,5;
- для дерева ny=2,8ч3,2.
Силовой расчет – это определение допускаемой нагрузки [P] формуле:
. (17.12)
Расчет сжатых стержней на устойчивость можно свести к расчету на простое сжатие, при применении следующего выражения:
, (17.13)
где 
- допускаемое напряжение на сжатие;
- коэффициент продольного изгиба, зависящий от гибкости и свойств материала стойки, данный коэффициент всегда меньше единицы 
. Первоначальное значение данного коэффициента при расчетах принимается 0,5 - 0,6.
