Тема урока: "Правильные многогранники".
(10 класс)
Учитель математики Иманова Алена Викторовна
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №21»
города Старый Оскол
Тема урока: "Правильные многогранники".
Цели урока: изучение свойств правильных многогранников;
развитие пространственного воображения;
формирование представлений о математике, как универсальном
языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;
воспитание культуры личности, отношение к математике как
части общечеловеческой культуры.
Наглядные пособия: модели правильных многогранников и их развертки,
изображения правильных многогранников Леонардо да Винчи,
портрет И. Кеплера, космический кубок И. Кеплера.
План урока
Вступительное слово учителя. Определение. а)"Конструирование" правильных многогранников.
б) Разверти правильных многогранников.
Выступления учащихся.а) Многогранники и искусство.
б) Гармония Иоганна Кеплера.
5. Заключение.
6. Домашнее задание
Ход урока
1. Увлекательный раздел геометрии – теория многогранников. Многогранники выделяются необычными свойствами, красивыми формами, которые находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей для реальных архитектурных сооружений. Сегодня мы познакомимся с правильными многогранниками. Начнем с определения.
2. Определение. Правильным называется многогранник, гранями которого служат одноименные правильные многоугольники, при этом в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
3а. Вместе с учащимися "конструируем" правильные многогранники. Выясняем, почему нельзя построить правильный многогранник, гранями которого служат: а)правильные треугольники, при этом в каждой вершине сходится 6 граней; б) правильные четырехугольники, при этом в каждой вершине сходится более 4 граней; в) правильные пятиугольники, при этом в каждой вершине сходится более 4 граней. ( Учащиеся ссылаются на следующее свойство : сумма плоских углов многогранного угла меньше 360°.)
Мы начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники.
Первый из них – тетраэдр. В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел.
Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром. В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника
Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится многогранник с 20 треугольными гранями – икосаэдр.
Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом («Земля»).
Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – правильного пятиугольника - пентагона. Если собрать 12 правильных пятиугольников таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще один многогранник – додекаэдр.
Делаем вывод: можно сконструировать только пять правильных многогранников. Это тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додэкаэдр.
В таблице представлены параметры, полностью характеризующие эти многогранники, в том числе характеристика Эйлера.
Многогранник | Число сторон | Число граней, | Число | Число | Число | Г+В-Р |
тетраэдр | 3 | 3 | 4 | 6 | 4 | 2 |
куб | 4 | 3 | 6 | 13 | 8 | 2 |
октаэдр | 3 | 4 | 8 | 12 | 6 | 2 |
икосаэдр | 3 | 5 | 20 | 30 | 12 | 2 |
додэкаэдр | 5 | 3 | 12 | 30 | 20 | 2 |
3б. Рассмотреть развертки некоторых правильных многогранников.
4а. Леонардо да Винчи иллюстрировал книгу его современника, математика Луки Пачоли (1445-1514) «Божественная пропорция» («De Devina Proportione»), изданной в 1509 г. Он выполнил 59 иллюстраций различных многогранников, используя впервые метод жестких ребер. Книга оказала большое влияние на развитие геометрии того времени, в частности, стереометрии многогранников. Гравюру с изображением усеченного икосаэдра (рис. 2) Леонардо предваряет надписью по латыни Ycocedron Abscisus (усеченный икосаэдр) Vacuus. Термин Vacuus обозначает тот факт, что грани многогранника изображены «пустыми» — не сплошными. Строго говоря, грани не изображаются вовсе, они существуют только в нашем воображении. Зато ребра многогранника изображены не геометрическими линиями (которые, как известно, не имеют ни ширины, ни толщины), а жесткими трехмерными сегментами. Обе эти особенности данной гравюры и составляют основу способа пространственного изображения многогранников, изобретенного Леонардо для иллюстрации книги Луки Пачоли и называемого сегодня методом жестких (или сплошных) ребер. Такая техника позволяет зрителю, во-первых, безошибочно определить, какие из ребер принадлежат передним, а какие — задним граням многогранника (что практически невозможно при изображении ребер геометрическими линиями), и, во-вторых, взглянуть как бы сквозь геометрическое тело, ощутить его в перспективе, глубине, которые теряются при использовании техники сплошных граней (см. рисунок ).
|
Техника, разработанная Леонардо, являет собой блестящий пример геометрической иллюстрации, нового способа графического изображения научной информации. Эта техника впоследствии многократно использовалась художниками, скульпторами и учеными. В качестве примеров приведем изображение платоновых тел (рис. а) на титульном лист изданной во Франции в 1560 г. книги Жана Кузена «Livre de Perspective» («Книга о перспективе») и надгробный памятник Сэру Томасу Джорджсу (рис. 6), установленный в 1635 г. в кафедральном соборе в Солсбери (Англия).
Рис.4. | |
а — титульный лист |
б — надгробный памятник |
Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Эшера (1898-1972), две из которых представлены на рис. 5 (изображая многогранники в этих работах, Эшер пользуется как техникой сплошных граней, так и методом жестких ребер Леонардо).
|
|
Рис. 5. |
Приведем также пример изображения многогранника, выполненного художникам Сальвадором Дали (1904-1989) в картине "Тайная вечеря".
Рис. 12.
Сальвадор Дали. Тайная вечеря (1955).
4б) Среди ученых, исследовавших многогранники, особое место принадлежит Иоганну Кеплеру (1571-1630). Кеплер определил классы многогранников, в частности тот, который мы называем архимедовыми телами, описал каждый из многогранников того или иного класса (некоторые — впервые). Еще в молодые годы им овладела идея поиска симметрии или гармонии мира. В своей первой работе "Космогоническая тайна" (1596) Кеплер, опираясь на геометрию, решил вывести число орбит, их относительные размеры и характер движения планет, т. е. проникнуть в замысел творца. Эта работа принесла ему большой успех и широкую известность. В ней ученый вывел свой геометрический принцип, по которому с помощью пяти правильных многогранников - так называемых платоновых тел - обьясняется число известных тогда планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн) и относительные размеры их орбит. Геометрия Солнечной системы по Кеплеру заключалась в следующем: вокруг сферы, на поверхности которой по окружности большого круга движется Меркурий, описывается октаэдр; вокруг октаэдра – сфера, на которой находится Венера; вокруг последней сферы описывается икосаэдр и вокруг него сфера, на которой оказывается Земля; Далее идет додекаэдр со сферой, на которой движется Марс; затем тетраэдр со сферой Юпитера; затем следует куб со сферой, на которой находится последняя известная Кеплеру планета – Сатурн. Такая модель гелиоцентрической системы мира получила название "космический кубок". Кеплер считал геометрию "прообразом красоты мира" и в отличие от пифагорейцев искал первопричины не в числовых соотношениях, а в скрытых за числами геометрических фигурах.
В конце концов, Кеплеру пришлось признать ошибочность этой гипотезы. Позже, изучив долголетние тщательные наблюдения знаменитого астронома Тихо Браге над движением планеты Марс, Кеплер обнаружил, что Марс движется не по кругу, а по эллипсу, и, критически пересмотрев свои взгляды на движение планет, пришел к "законам Кеплера". Ошибочность первоначальной гипотезы, кстати, является красноречивым свидетельством того, что в науке прекрасное (с чисто эстетической точки зрения) все же не всегда оказывается правильным.
5. История изучения и изображения многогранников, уходящая корнями в глубь тысячелетий, продолжается в наши дни, неожиданно «превращаясь» в историю науки о фуллеренах и технологии новых материалов на их основе или историю современной архитектуры. История эта являет собой яркий пример взаимопроникновения различных областей знания, неразрывности понятий «наука» и «искусство» как различных способов познания мира, двух основных составляющих единого целого — культуры, главного наследия человеческой цивилизации.
В качестве домашнего задания предлагается сделать модель правильного многогранника по его развертке или каркасную его модель.
Литература и web-ресурсы
1. . Геометрия, 10-11 класс.
2. . Геометрия, 10-11 класс.
3. . История математики в школе.
4. . В мире многогранников.
5. . Искусство и наука – о многогранниках вообще и усеченном икосаэдре в частности, ж. "Энергия" № 10-12, 2002 год.
6. geometry2006.narod. ru/Lecture/R... ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
