Пример решения задачи из практической работы №2
Задача.
Составить математическую модель и решить симплексным методом.
В производстве пользующихся спросом двух изделий А и В принимают участие 3 цеха фирмы. На изготовление одного изделия А 1-й цех затрачивает 10 ч, 2-й цех - 9 ч, 3-й цех - 3 ч. На изготовление одного изделия В 1-й цех затрачивает 18 ч, 2-й цех - 15 ч, 3-й цех - т 1 ч. На производство всех трех изделий 1-й цех может затратить не более 1238 ч, 2-й цех - не более 1118 ч, 3-й цех - не более 523 ч. От реализации одного изделия А фирма получает доход 11 р., изделие В - 13 р. Определить максимальный доход от реализации всех изделий А и В.
Решение:
Сведем исходные данные в таблицу 1.
Таблица 1 – Исходные данные
№ | Затраты времени на изготовление изделия, ч | Лимит времени, ч | |
A | B | ||
1 | 10 | 18 | 1238 |
2 | 9 | 15 | 1118 |
3 | 3 | 1 | 523 |
Прибыль | 11 | 13 |
Составим математическую модель данной задачи. Поскольку необходимо определить максимальный доход от реализации всех изделий А и В, то переменные вводим следующим образом: 
- изделие вида А; 
- изделие вида В.
Целевая функция – функция дохода 3х цехов от двух видов изделий имеет вид: 
При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения по времени на производство изделий.
Так как для производства изделия вида А расходуется 10 часов, а для производство изделия вида В расходуется 18 часов, то для изготовления первым цехом изделия А и В расходуется 1238 часов: 
Так как для производства изделия вида А расходуется 9 часов, а для производства изделия вида В расходуется 15 часов, то для изготовления вторым цехом изделия А и В расходуется 1118 часов: 
Так как для производства изделия вида А расходуется 3 часов, а для производства изделия вида В расходуется 1 часов, то для изготовления третьим цехом изделия А и В расходуется 523 часов: 
Условия выполнения неотрицательности переменных 
.
Математическая модель поставленной задачи имеет следующий вид: 
Приведем задачу линейного программирования к предпочтительному виду: 
Базисные переменные: x3, x4, x5. Свободные переменные: x1, x2. Строим начальную симплекс - таблицу 2.
Таблица 2 - Начальный опорный план
План | Базисные переменные | Ресурсы bi | Значения коэффициентов переменных при: | Q | ||||
Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | ||||
| Х3 | 1238 | 10 | 18 | 1 | 0 | 0 | 1238/18 |
Х4 | 1118 | 9 | 15 | 0 | 1 | 0 | 1118/15 | |
Х5 | 523 | 3 | 1 | 0 | 0 | 1 | 523/1 | |
Индексная строка | L( | 0 | -11 | -13 | 0 | 0 | 0 | - |
0
0)Начальный опорный план имеет вид: 
= (0; 0; 1238; 1118; 523).
Значение целевой функции начального опорного плана: L(
0)=11*0+13*0=0.
Данный опорный план не является оптимальным.
Составим новую симплекс таблицу 3:
Выбираем ведущий столбец. Ведущим столбцом будет столбец № 2, так как max{11;13} = 13. Выбираем ведущую строку. Ведущей строкой будет №1, так как min{(1238/18), (1118/15), (523/1)} = 1238/18 = 68,8. Выбираем ведущий элемент. Ведущим элементов будет элемент, находящийся на пересечении ведущего столбца и ведущей строки, то есть 18. Переходим к новой симплекс таблице 3.Таблица 3 - Опорный план № 1
План | Базисные переменные | Ресурсы bi | Значения коэффициентов переменных при: | Q | ||||
Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | ||||
| Х2 | 1238/18 | 10/18 | 1 | 1/18 | 0 | 0 | 1238/10 |
Х4 | 1554/18 | 12/18 | 0 | -15/18 | 1 | 0 | 1554/12 | |
Х5 | 8176/18 | 44/18 | 0 | -1/18 | 0 | 1 | 8176/44 | |
Индексная строка | L( | 16094/18 | -68/18 | 0 | 13/18 | 0 | 0 | - |
1
1)Опорный план № 1 имеет вид: 
= (0; 1238/18; 0; 1554/18; 8176/18).
Значение целевой функции начального опорного плана:
L(
1) = 11*0+13*1238/18 = 16094/18 = 894
= 894
.
Данный опорный план не является оптимальным.
Составим новую симплекс таблицу 4:
Выбираем ведущий столбец. Ведущим столбцом будет столбец № 1, так как max{68/18} = 68/18. Выбираем ведущую строку. Ведущей строкой будет №1, так как min{1238/10, 1554/12, 8176/44} = 1238/10. Выбираем ведущий элемент. Ведущим элементов будет элемент, находящийся на пересечении ведущего столбца и ведущей строки, то есть 10/18. Переходим к новой симплекс таблице 4.Таблица 4 - Опорный план № 2
План | Базисные переменные | Ресурсы bi | Значения коэффициентов переменных при: | Q | ||||
Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | ||||
| Х1 | 1238/10 | 1 | 18/10 | 0,1 | 0 | 0 | - |
Х4 | 684/180 | 0 | -12/10 | -162/180 | 1 | 0 | - | |
Х5 | 27288/180 | 0 | -44/10 | -54/180 | 0 | 1 | - | |
Индексная строка | L( | 245124/180 | 0 | 68/10 | 198/180 | 0 | 0 | - |
2
2)Опорный план задачи: 
2 = (1238/10; 0; 0; 684/180; 27288/180) является оптимальным и единственным. Подставляя значения х1 и х2 в целевую функцию, получим: L(
2)=11*1238/10+13*0=245124/180 = 1361 
.
Полученное решение означает, что изделия вида А выпускать целесообразно, В – нецелесообразно. Изделия первого вида будут приносить прибыль 123,8 р., второго – 0 р.
Ответ: Максимальный доход будет только от реализации изделия типа А в количестве 1238/10 ед., при этом прибыль составит 1361 
.
