27 | 54 | 108 | 216 |
9 | 18 | 36 | 72 |
3 | 6 | 12 | 24 |
1 | 2 | 4 | 8 |
В окружность радиуса R вписан треугольник, вершины которого делят окружность в отношении 2:5:17. Найти площадь треугольника.
Ответ: Треугольник АВС, сумма частей окружности = 2+5+17=24
1 часть = 360/24 = 15, дуга АВ = 2 х 15 =30, дуга ВС = 5 х 15 = 75. дуга АС=17 х 15 =255
угол С =1/2 дуги АВ =30/2=15, угол А=1/2дугиВС = 75/2=37,5, угол В=1/2 дуги АС= 255/2= 127,5
АВ = R x 2 x sin15 = 0,5176R
BC = R x 2 x sin37,5 =1,2176R
AC = R x 2 x sin127,5 =1,5866R
Площадь = 1/2АС х ВС х sin15 = 1/2 х 1,5866R x 1,2176R x 0,2588 = 0,25R в квадрате
Определите а так, чтобы сумма квадратов корней уравнения
была наименьшей. Ответ: а=1
Решите систему уравнений: 
Решение: (x+y)(x+y+z) + (y+z)(x+y+z) + (x+z)(x+y+z) 72 + 120 + 96
(x+y+z)((x+y)+(y+z)+(x+z)) = 288
(x+y+z)(2x+2y+2z) = 288
(x+y+z)2(x+y+z) = 288
(x+y+z)^2 = 144
x+y+z = +-12
1. x1 = 12-y-z 2. x2 = -12-y-z
подставляем "X1 и "Х2"" в исходную систему:
1. (12-y-z+y)(12-y-z+y+z) = 72 2. (-12-y-z+y)(-12-y-z+y+z) = 72
(y+z)12 = 120 (y+z)(-12) = 120
(12-y-z+z)12 = 96 (-12-y-z+z)(-12) = 96
(12-z)12 = 72 (-12-z)(-12) = 72
(y+z)12 = 120 (y+z)(-12) = 120
(12-y)12 = 96 (12-y)(-12) = 96
12-z = 6 -12-z = -6
y+z = 10 y+z = -10
12-y = 8 -12-y = -8
z = 12-6=6 z = -12+6 = -6
y = 12-8=4 y= -12+8 = -4
x1 = 12-6-4 = 2 x2 = -12-(-6)-(-4)=-2
Ответ: z = 12-6=6 z = -12+6 = -6
y = 12-8=4 y= -12+8 = -4
x1 = 12-6-4 = 2 x2 = -12-(-6)-(-4)=-2
Можно ли расположить по кругу цифры 1, 2, 3,…, 9 так, чтобы сумма никаких 2 соседних чисел не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?Ответ: нет
В равнобедренной трапеции даны основания а=21 см, в=9 см и высота h=8см. Найдите радиус описанного круга.Решение:
Пусть АВСД - данная трапеция, ВС||АД, ВС=9 см, АД=21 см, ВК=8 см - высота.
1. Радиус описанного круга равен радиусу круга, описанного около ДАВД.
2. Рассмотрим ДАКВ - прямоугольный.
АК=(АД-ВС):2 = 6 см.
АВІ=АКІ + ВКІ - (по теореме Пифагора)
АВІ=36+64=100
АВ=10 см.
3. Рассмотрим ДВКД - прямоугольный.
КД=АД-АК=21-6=15 (см)
ВДІ=ВКІ + КДІ - (по теореме Пифагора)
ВДІ=64+225=289
ВД=17 см.
4. Рассмотрим ДАВД.
SД = Ѕ ah
SД = Ѕ · 21 · 8 = 84 (смІ)
5. R=abc/4S
R=(21·10·17)/(4·84) = 3570/336 = 10,625 (см) Ответ. 10,625 см.
Докажите неравенство
, где а и в – действительные числа. Найти все решения уравнения: 
.э Решение:
x^2+5y^2+4xy+2y+1=0
(x^2+4xy+4y^2)+(y^2+2y+1)=0
(x+2y)^2+(y+1)^2=0
Система:
х+2у=0
у+1=0
Ответ: х=2; у=-1.
От 2 кусков сплавов с разным содержанием свинца массой 6 кг и 12 кг отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого сплава, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы отрезанных кусков?Пусть
m1 - масса, р1- процент чего-то(Pb) в 1 сплаве
m2 - масса, р2- процент чего-то в 2 сплаве
Пусть отрезали от каждого по х кг, тогда сплавы разделятся на 2 части, и их масса и масса Pb в каждом из них будет следующая: (m куска; m Pb)
1 кусок 2 кусок
1 сплав (х; х*р1) ((m1-x); (m1-x)*p1)
2 сплав (х; х*р2) ((m2-x); (m2-x)*p2)
Теперь их крест-накрест сплавили, получили новые сплавы
1 (x+(m2-x); x*p1+(m2-x)*p2) = (m2; x*(p1-p2)+m2*p2)
2 (x+(m1-x); x*p2+(m1-x)*p1) = (m1; x*(p2-p1)+m1*p1)
Новые процентные содержания Pb в этих сплавах будет
P1 = x*(p1-p2)/m2 +p2
P2 = x*(p2-p1)/m1+p1
но по условию, они равны
х*(p1-p2)/m2 + p2 = x*(p2-p1)/m1 + p1
x*m1*(p1-p2) - x*m2*(p2-p1) = p1*m1*m2 - p2*m1*m2
x*(p1-p2)*(m1+m2) = m1*m2*(p1-p2)
x*(m1+m2) = m1*m2
x= m1*m2/(m1+m2)
Вот такой красивый симметричный ответ(он и должен быть симметричным)
Подставим значения масс
х=6*12/(6+12) = 72/18=4кг.
Ответ: 4 кг
