ВОПРОСЫ к экзамену
ВОЛНОВАЯ ДИНАМИКА УПРУГИХ СРЕД
ВОПРОС 1
Афинные преобразования координат. Тензор, ранг, валентность. Вектор как контрвариантный тензор первого ранга. Tензор, ранг, валентность, сложение тензоров, свертка тензоров. Метрический тензор и его свойства. Ковариантные и контрвариантные компоненты метрического тензора и вектора. Лагранжевы координаты. Криволинейные координаты, ковариантный и контрвариантный базис. Примеры криволинейных координат Ковариантный и контрвариантный базисы. Определение ковариантных и контравариантных компонент тензора второго ранга. Скалярные, векторные и тензорные поля. Тензорные инварианты. Привести примеры. Градиенты и роторы скалярных и векторных полей и их свойства. Теорема Остроградского-Гаусса. Криволинейные координаты. Символы Кристофеля, ковариантная производная вектора. Вектор перемещения сплошной среды. Тензор деформации еij. Представление тензора деформаций еij через перемещения сплошной среды. Тензор малых деформации еij. Геометрический смысл компонент еij при малых деформациях. Плоская и антиплоская деформации. Компоненты тензора деформаций в цилиндрической системе координат. Инварианты тензора деформаций. Компоненты тензора деформаций в сферической системах координат. Инварианты тензора деформаций. Волновое уравнение. Функционально-инвариантные решения Смирнова-Соболева однородного волнового уравнения. Плоская гармоническая волна и ее основные характеристики: длина, скорость, частота, период, волновой вектор. Решения волнового уравнения при стационарных колебаниях на плоскости. Уравнение Гельмгольца. Цилиндрические функции Бесселя и Ханкеля. Метод Фурье разделения переменных для волнового уравнения в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.ВОПРОС 2
НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
Силы массовые, объемные, поверхностные. Тензор напряжений и его свойства. Напряжения на площадке с заданной нормалью. Уравнения движения сплошной среды, вывод. Незамкнутость уравнений движения сплошной среды. Закон сохранения массы в лагранжевой и эйлеровой системах координат. Анизотропные и изотропные упругие среды. Тензор упругих констант и параметры Ламе. Закон Гука. Плоская и антиплоская деформации. Постановка нестационарных краевых задач теории упругости. Первая, вторая и смешанная краевые задачи. Постановка нестационарных краевых задач теории упругости при плоской и антиплоской деформации. Потенциалы Ламе. Уравнения Ламе упругой среды. Волновые уравнения для потенциалов Ламе Скорости распространения упругих волн. Дилатационные и сдвиговые волны. Уравнения Ламе. Плоские упругие волны. Продольные и поперечные упругие волны. Плоские гармонические волны и их характеристики (длина волны, частота, период, скорость) Стационарные колебания упругой среды. Частота, период колебаний. Комплексная амплитуда, амплитуда, фаза. Постановка краевых задач при стационарных колебаниях в потенциалах Ламе. Упругие цилиндрические волны. Стоячие цилиндрические волны. Ряды Фурье-Бесселя Задача отражения плоской продольной гармонической волны от жесткой стенки. Коэффициент отражения. Задача отражения плоской поперечной гармонической волны от жесткой стенки. Критический угол отражения Поверхностные упругие волны. Волна Релея. Определение потенциалов Ламе волны Релея Контактные задачи динамики упругих сред. Контактные условия. Постановка краевых задач. Волны в упругом слое на упругом полупространстве. Постановка задачи Лява. Волны Лява.
ВОПРОС 3
задана плоскость 
. Доказать, что ее нормаль является ковариантным тензором первого ранга (ковектором). Доказать, что градиент функции является ковариантным тензором первого ранга (ковектором) Найти перемещения изотропной упругой среды при заданных потенциалах Ламе: 
Найти напряжения в изотропной упругой среде (плотность
параметры Ламе 
) в точке x на площадке с нормалью 
, если известен тензор напряжений ( в декартовом базисе) 
Вектор перемещения упругой среды (плотность
параметры Ламе 
) имеет вид: 
Найти скорость распространения волны, тензор деформаций и напряжений. Найти тензор деформации и тензор напряжений в изотропной упругой среде (плотность
параметры Ламе 
) при заданных потенциалах Ламе: 
В
задано векторное поле массовых сил 
Найти поток сил через поверхность цилиндра длины L радиуса a с центром в точке x=0.
В
задано векторное поле массовых сил 
где 
-- функция Хевисайда. Найти его поток через сферу радиуса a с центром в начале координат.
Поставить статическую краевую задачу для упругого куба с длиной грани l на абсолютно твердом горизонтальном основании под действием силы тяжести. Поставить стационарную краевую задачу для упругого цилиндра высоты h радиуса а на абсолютно твердом горизонтальном основании под действием периодической силы, приложенной к верхнему торцу
Поставить нестационарную краевую задачу для упругого цилиндра ( высота h, радиус а ) на абсолютно твердом горизонтальном основании под действием давления p, приложенного к его поверхности при 
Поставить нестационарную краевую задачу для упругого полупространства под действием массовых сил вида
Здесь 
-- функция Хевисайда.
