Тема №1. «Формулы комбинаторики» |
Вычислите |
Вычислите |
Вычислитe |
Чему равно число размещений 7 элементов по 3 местам? |
Чему равно число перестановок четырёх элементов? |
Чему равно число сочетаний их 4 объектов по 6? |
Тема №2. «Классификация и решение простейших задач»
Решите задачи и объясните своё решение:
Пёс Карпатыч контролирует в доме 5 различных ботинок. Сколько существует способов расположить в них 8 различных сюрпризов, если в каждый ботинок может поместиться сколь угодно много сюрпризов? Морская Свинка Лёля и хомяк Армен получили на сегодня 5 разных по размеру кусков огурца. Сколько существует способов выбрать 3 из них, чтобы съесть по одному на завтрак, обед и ужин? Мальчик Лёша воспитывает 5-х домашних питомцев. Сколько существует способов выбрать сегодня двоих из них, чтобы пристыдить? Мальчик Лёша воспитывает 5-х домашних питомцев. Сколько существует способов выбрать несколько из них, чтобы выгулять? Кот Семён контролирует в доме 6 различных тапок. Сколько существует способов оставить в них по одному различному сюрпризу из шести? Котёнок Матвей контролирует в доме 8 различных тапок. Сколько существует способов расположить в них 5 различных сюрпризов, если он принципиально не кладет больше одного сюрприза в одно место? Сколько существует способов раскрасить 5 домов на улице в 4 различных цвета?Тема №3. «Комбинированные задачи»
Сколько различных анаграмм (перестановок букв) можно получить из слова «комбинаторика»? Сколько существует анаграмм слова «комбинаторика», в которых 2 буквы «а» не стоят рядом. Ответ поясните решением. Сколько существует способов (различных с точностью до поворота) составить ожерелье из пяти различных по цвету бусин? Ответ поясните решением. В лифте зашло 8 девочек и 5 мальчиков, после чего произошел перегруз. Сколько существует способов выйти:а) 3 девочкам или 3 мальчикам
б) 2 девочкам и 4 мальчикам
5. Сколькими способами можно расположить 4 шашки на нарисованной доске так, чтобы никакие две из них не находились в одном ряду или одной колонке?
Тема №4. «Вероятность»
Вы вызываете лифт на 4 этаже 13-этажного здания. Какова вероятность того, что лифт к Вам приедет сверху? На шести светофорах по ул. Николаева 1 апреля цвет загорался абсолютно случайным образом. Какова вероятность того, что в один момент времени хотя бы на одном из светофором окажется зеленый свет? Какова вероятность того, что ровно на двух светофорах из предыдущей задачи загорится жёлтый свет? Какова вероятность из полного рулона автобусных билетов достать билет, где есть ровно 2 цифры 1? Какова вероятность, что подбросив 5 кубиков, ровно на трех из них будет четное число?Тема №5 «Количество путей»
На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город З?
На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город З?
Тема №7 «Таблицы истинности»
Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений и сделайте выводы (где это возможно): ∧∨ ¬ →≡
X∧¬X X∨¬X X→¬X X≡¬X X∧Y→(¬X∨¬Y) X∧(X∨Y) X∨ X∧Y X∧Y→(X∨Y) X∧Y∨¬ (X∨Y) ∨X ¬ (X∨¬Y) ∨¬X∧YТема №8 «Построение отрицаний логических утверждений»
I. Постройте отрицание логических утверждений и максимально их упростите (избавьтесь от отрицаний, импликаций, эквивалентности и максимально уменьшите количество скобок):
¬ (X∨¬Y) ∨¬X∧Y X∧Y →¬X X≡X∨Y X→(X∨Y) X→X∨Y X→(¬X∨Y)Тема №9 «Построение отрицаний высказываний»
Высказывание | Отрицание |
В этом магазине есть, как минимум, один товар стоимостью меньше 100 рублей. | |
Во всех пирожках меньше 5 граммов начинки. | |
Все эти апельсины либо гнилые, либо недоспелые. | |
У меня в сумке найдется хотя бы один полезный и легкий предмет. | |
Если я голодна, то я зла. | |
Он улыбается тогда и только тогда, когда светит солнце и тепло. |
Тема №11 Классические задачи
Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в четыре цвета. Докажите, что найдётся прямоугольник с одноцветными вершинами. Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в пять цветов. Докажите, что найдётся прямоугольник с одноцветными вершинами. Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в n цветов. Докажите, что найдётся прямоугольник с одноцветными вершинами.Тема №12 «Принцип «от противного» для задач о распределении заданного набора объектов»
В столовой школы № 000 сегодня испекли 111 пирожков. На это было истрачено 500 граммов джема. Вася считает пирожок вкусным, если в нем не менее 5 граммов джема. Сможет ли Вася гарантированно найти сегодня вкусный пирожок, если скупит все пирожки в столовой. Нина в Париже купила 20 открыток и решила отправить их своим 11 друзьям. Докажите, что среди Нининых друзей найдется хотя бы 1, который получит менее 2 открыток. На пяти книжных полках стоят 12 книг. Докажите, что найдется полка, на которой стоит более 2 книг.Тема №13 «Принцип Дирихле для задач о распределении заданного набора объектов»
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 лежат 5 точек. Доказать, что найдутся две точки из этих пяти, расстояние между которыми меньше 0,5. В ковре размером 4 х 4 метра моль проела 15 дырок. Всегда ли можно вырезать коврик размером 1х1, не содержащий внутри дырок? (Дырки считаются точечными). В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка — точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок.
Тема №15 Задачи на «оценку+пример»
В столовой школы № 000 сегодня испекли 111 пирожков. На это было истрачено 500 граммов джема. Вася считает пирожок противным, если в нем менее 5 граммов джема. Какое минимальное количество противных пирожков может оказаться у Васи, если он скупит весь ассортимент? Нина в Париже купила 20 открыток и решила отправить их своим 11 друзьям. Какое максимальное количество друзей может получить по 2 открытки и более? На пяти книжных полках стоят 12 книг. Какое максимальное количество полок может оказаться с двумя книгами.