Задачи на инфляцию

Термин «инфляция» применительно к денежному обращению появился в середине XIX века в связи с огромным выпуском бумажных долларов в годы Гражданской войны в США (1861-1865 гг.). Под инфляцией понимают обесценение денег и рост товарных цен В мировой практике учет уровня инфляции осуществляется либо по колебанию курсов валют, либо по колебанию уровня цен. Инфляция измеряется с помощью индекса инфляции (индекса цен) и темпов инфляции.

Определение. Индексом инфляции (роста потребительских цен) за время от t1 до t2 называется безразмерная величина: ,        а темпом инфляции за этот период называется величина: .                         Из определения следует, что

Индекс инфляции J показывает, во сколько раз, а темп инфляции Н (после умножения на 100)– на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый периодИндекс инфляции за некоторый один отрезок времени называется цепным индексом, а рассчитанный по отношению к определенной дате (периоду) называется базисным.

Важно!! Теорема Если t0<t1 <t2 <... <tn, то индекс инфляции на интервале (t0,tn) равен произведению индекса инфляции на каждом из составляющих (t0,tn) подынтервалов, т. е. индекс цен за несколько периодов равен произведению цепных индексов цен.

Расчет уровня инфляции.

Задача 1. Имеется потребительская корзина: капуста, картофель, яблоки, лимоны. Цены продуктов в корзине соcтавляют: 10, 15, 60, 120 руб. соответственно. Количество этих продуктов  в корзине: 8,6,4,1 кг. На 1 июня цены возросли на: 20, 15, 10, 5 % соответственно.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Рассчитать:

1.Индекс цен по данной потребительской корзине.

2. Текущие цены на каждый продукт.

3.Если динамика сохраниться, то каким будет годовой индекс цен по данной потребительской корзине

Решение.

Стоимость корзины на 1 января: руб.

Текущие цены (на 1 июня): 10*1,2=12;  15*1,15=17,25;  60*1,1=66;  120*1,05=126, тогда стоимость корзины в новых ценах:

Индекс цен на основе данной корзины за период от 1 января до 1 июня:

Годовой индекс цен  J=1,112=1,232

Задача 2. Определить уровень инфляции за два месяца, если в январе цены выросли на 10%, а в феврале еще на 20%.

J1= 1,1;  J1= 1,2,  следовательно индекс инфляции за два месяца: J= 1,1*1,2=1,32.

Задача3. Рост цен на строительные материалы составлял каждый месяц первого квартала соответственно 1, 2 и 3%. Во втором и третьем кварталах рост цен составил 2,5% ежемесячно, а в IV квартале происходило повышение цен каждый месяц в среднем на 1%. Необходимо определить уровень покупательной способности и уровень инфляции.

Решение:

Индекс роста цен за год составил: J= (1 + 0,01) Ч (1 + 0,02) Ч (1 + 0,03) Ч (1 + 0,025) 6 Ч

(1 + 0,01) 3 = 1,268.

Следовательно, уровень цен за год повысился на 26,8%,

Уровень (индекс покупательной споcобности)- величина обратная индексу цен на товары , т. е 1 прежнюю денежную единицу инфляция превратила в 0,78 ден. ед. 

Задача4. Месячный уровень инфляции в течение года составлял 4,5%. Необходимо определить индекс инфляции за год и  темп инфляции  за год.

Решение: Индекс инфляции за год составил:

J = (1 + 0,045) 12 = 1,696; H = 1,696 − 1 = 0,696,

т. е. за анализируемый год цены в среднем возросли в 1,696 раза или на 69,6%.

Задача5. Организация получила годовую прибыль в размере 600 тыс. руб. Определить реальную величину чистой прибыли организации, если средний темп роста инфляции в каждый квартал составлял 5%.

Решение

Реальная величина чистой прибыли организации за отчетный период будет в J раз меньше.

J= (1+0,05)4=1,2155, тогда реальная с точки зрения покупательной способности составит :  600000/1,2155= 493624руб.

Потери в результате инфляции ПОТ = 600 − 493,62 = 106,38 ( тыс. руб.).

II. Барьерная ставка


Барьерная ставка – это годовая процентная ставка, которая  в условиях инфляции позволяет сохранить первоначальную стоимость капитала

Выведем формулы барьерной ставки для различных способов начисления процентов

Пусть наращение капитала осуществляется по схеме простого процента, тогда . Это номинальная сумма. Так как имеется инфляция реальная сумма будет в J(T) раз меньше, обозначим ее

=.(*)

Чтобы сохранить первоначальную стоимость капитала в условиях инфляции, т.е., чтобы =PV, необходимо, чтобы коэффициент наращения  в формуле (*) равнялся единице.

=1, отсюда барьерная ставка

Если T=1, .

При начислении по сложным процентам множитель наращения, обеспечивающий сохранение первоначальной стоимости капитала: =1.  Тогда барьерная ставка определится по формуле:  /

Аналогично могут быть получены барьерные ставки и в других схемах наращения капитала.

Все процентные ставки меньше барьерной называются отрицательными процентными ставками. Их применение ведет к эрозии  капитала. Ставки больше барьерной обеспечиваю некоторый прирост капитала в условиях инфляции и называются положительными процентными ставками.

Задача 1.

Пусть , H= 12%.  Найдем  годовую барьерную ставку.

=

Следовательно,  процентная ставка является отрицательной процентной ставкой и наращение капитала по такой ставке можно рассматривать лишь как вариант уменьшения потерь в условиях инфляции

Задача 2.

Индекс цен за 3 месяца составил 1,27. Начисление процентов происходит по простой ставке процентов. Найти  барьерную ставку.

,  ;  здесь  T=3месяца

rбар=0,09, следовательно барьерная месячная ставка 9%..

В данных условиях реальный доход будут приносить вклады по ставкам, превышающим 108% годовых 

Задача 3.

Оценить рост цен за год при темпах инфляции 2% в месяц. Определить простую годовую и сложную банковские ставки, обеспечивающие отсутствие эрозии капитала.

Решение

Определим годовой индекс инфляции: .

Ставка, обеспечивающая отсутствие эрозии капитала-это барьерная ставка Найдем простую годовую барьерную ставку:

Найдем сложную годовую барьерную ставку:

=1;   

Задача 4.

Темп инфляции составляет  1% в месяц. Определить  месячную и годовую сложные барьерные ставки.

Решение

    Определим годовой индекс инфляции: . Найдем годовую (T=1) сложную барьерную ставку:

Так как известен месячный индекс инфляции= 0,01, то для нахождения месячной барьерной ставки можно воспользоваться формулой:

Задача  5.

Квартальные индексы инфляции составляют соответственно 1,1; 1,05; 1,08; 1,2.

Определить годовую сложную  барьерную ставку при начислении процентов 4 раза в год, определить барьерную полугодовую ставку при начислении процентов 2 раза в год.

Решение.

Найдем годовой индекс инфляции: .

Барьерную годовую  ставку находим из условия:

; 

Найдем барьерную полугодовую при начислении процентов 2 раза в год:

;  rбар  =0,223

Брутто-ставка

В условиях инфляции рассматривают процентную ставку, обеспечивающую заданную доходность капитала, и называют ее брутто-ставкой или ставкой учитывающей инфляцию. Обозначим ее  rH.

Реальная стоимость наращенного капитала в условиях инфляции будет меньше номинальной стоимости FV. Чтобы восстановить реальную доходность  наращенного капитала, нужно сумму FV увеличить в J (T) раз, где J (T) индекс инфляции за этот период. Тогда   ,

здесь – наращенная сумма, обеспечивающая заданную доходность капитала, – множитель наращения со ставкой ссудного процента , обеспечивающей заданную доходность за период .

Тогда по правилу финансовой эквивалентности:

,(**)

где - множитель наращения с использованием  брутто-ставки  .

Из соотношения (**) можно получить формулы для вычисления брутто-ставки для этих  различных схем наращения капитала. При этом  должен рассматриваться индекс инфляции, соответствующий периоду начисления.

Для простых процентных ставок соотношение (**) запишется:

=, из которого получаем:

                       (1)

Для случая сложных процентов имеем:

=, отсюда

                                                       (2).

Если начисление процентов происходит раз в году, используем  соответствующую формулу наращения:

,отсюда получим:

                                       (3)

Брутто ставку называют также номинальной – это базовая (как правило, годовая) процентная  ставка, указываемая в договорах, исходя из которой определяется величина ставки процентов, применяемой в каждом периоде начисления. Брутто ставка а не отражает реальную доходность операции. Реальная процентная ставка показывает доходность операции с учетом инфляции, характеризующейся снижением покупательной способности денег. Она характеризует прирост реальной покупательной способности наращенной суммы и может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

Формула Фишера

Если в любой из формул (1-3) положить Т=1 и  m=1то получим формулу Фишера, определяющую связь между годовой номинальной реальной ставками процентов.

Сумму называют инфляционной премией. Эта величина, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь.

● 

Задача1.

Определить номинальную ставку процентов для финансовой операции, если уровень эффективности должен составлять 7 % годовых, а годовой уровень инфляции составляет 22 %. . Начисление процентов 1 раз в году.

Решение.

Воспользуемся формулой Фишера:

. Для получения доходности в 7%, ставка должна быть 30,54%

Задача 2. Клиент вкладывает в банк на год 20 тыс. руб., инфляция составляет 18 %. Клиент хочет, чтобы его вклад принес 6% годовых дохода. Под какой процент клиент должен сделать вклад?

Реншение

Клиент должен сделать вклад под ставку, равную брутто - ставке 25,08%:

=0.06+0,18+0.06*0,18=0,2508

Задача 3.  Рассчитать  реальную годовую ставку, если  годовой темп инфляции – 20%, брутто-ставка – 25% годовых, n = полгода. Определить доходность финансовой операции для случая простых процентов.

Решение

Для простых процентов выполняется соотношение:

где  T - срок  операции, а    - индекс инфляции за этот срок.

Найдем индекс инфляции за полгода:

Ставка реальной доходности 5,4%.

Задача 4. Ставка, предлагаемая банком - 10% годовых сложного процента с начислением 1 раз в год (4 раза в год).. Темп инфляции-12%.

Какой реальный доход получает инвестор? Какой должна быть процентная ставка, чтобы в действительности получить реальный доход в 10 %.

Проценты начисляются один раз в году. Используем формулу Фишера и найдем из нее реальную ставку доходности:

-0,01786. Получили отрицательную процентную ставку, т. е. идет эрозия капитала, инвестор имеет убыток в 1,786%.

Пусть проценты начисляются 4 раза в год, из формулы (3) найдем величину реальной ставки .

-0,01453

Ставка отрицательная, те инвестор получает убыток в 1,453%.


Найдем брутто-ставку, обеспечивающую заданную доходность в 10%. Пусть проценты начисляются один раз в год, воспользуемся формулой Фишера.

= 0,1 + 0,12+0,1*0,12=0,232. Т. е. банк должен предлагать годовую ставку ссудного процента в 23, 2%

Пусть проценты начисляются 4 раза в год. Воспользуемся формулой  (3) =, При начислении  сложного процента 4 раза в год банк может предложить меньшую ставку  в 21,78%, чем при годовом начислении, для получения реальной доходности в 10%.

Задача 5. Организация с целью создания резерва положила в банк 500 тыс. руб. на год с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 26% годовых. Уровень инфляции в месяц составлял 1,8%. Определить реальную доходность операции и реальный размер вклада.

.

Решение

Найдем годовой индекс инфляции: Найдем ставку реальной доходности, для чего составим равенство множителей наращения:

Ставка реальной доходности 4,3% в год.

Найдем наращенную номинальную  сумму (резерв банка) без учета инфляции:

Доход организации без учета инфляции составит: Д = 646,67 − 500 = 146,67 ( тыс. руб.).

4.. Сумма резерва с процентами с точки зрения ее покупательной способности будет равна

Таким образом, реальная величина дохода составит: Д* = 521,93 − 500 = 21,93 ( тыс. руб.). В результате инфляции реальная величина дохода в 6,69 раза меньше (146,67: 21,93).

Реальный доход можно найти, используя реальную ставку процентов:

Задача 6.

Инвестирование 1000 тыс. руб. в производственный потенциал организации позволит в течение пяти лет получать фиксированный доход в размере 15% годовых сложного процента. Определить реальную доходность инвестируемых средств, если прогнозируемый годовой темп инфляции составит 8%.  Найти индекс покупательной способности.

Решение:

1. Без учета темпа инфляции номинальный доход от инвестируемых средств составит:FV = 1000 Ч (1 + 0,15) 5 = 2011,357 ( тыс. руб.).

2. С учетом темпа инфляции реальный доход составит: =2011,357/ 1,085=1368,89. Потери в результате инфляции: FV - = 2011,357 – 1368,89 = 642,467 ( тыс. руб.).

3. Обратным  показателем к индексу цен на продукцию признан индекс покупательной способности. Определить его можно по следующей формуле:

ПСД=1/ где ПСД – покупательная способность денег; – индекс цен.

ПСД=1/1,08=0,926.

Найдем ставку реальной доходности из формулы:

=

Реальная доходность составляет 6,48 % годовых.

Если наращивать проценты по реальной ставке процентов, то получим

FV = 1000 Ч (1 + 0,0648) 5 = 1368,8 ( тыс. руб.).

Задача 7. Оценить рост цен за год при темпах инфляции 6% в квартал. Определить простую годовую и сложную ежемесячную барьерные банковские ставки процентов. Определить простую годовую и сложную квартальную брутто-ставки процентов, которые обеспечат реальную доходность по вкладам банка 12% в год.

Решение

Найдем годовой индекс инфляции: =1,06 4=1,2625 Простая годовая барьерная ставка rбар= Найдем сложную ежемесячную барьерную ставку из условия:

Найдем годовую  брутто-ставку  по формуле Фишера: =

=0,12+0,2625+0,12*0,2625=0,414

5.Найдем  квартальную брутто - ставку из условия: ;

Приведение статистических данных к сопоставимому виду.


Номинальное значение экономического показателя – его выражение в текущих ценах.

Реальное значение показателя – его величина, скорректированная с учетом инфляции (повышения цен) или дефляции (снижения цен). Реальные  показатели являются более точными по сравнению с номинальными характеристиками  экономических процессов.

Для приведения стоимостных показателей к сопоставимому виду необходимо их пересчитать, учитывая инфляцию, провести операции инфлирования или дефлирования. Для осуществления  этих процессов применяются базисные индексы инфляции. Индекс инфляции за один текущий период называется цепным, а индекс инфляции по отношению к базовому периоду называется базисным и определяется как произведение цепных индексов за рассматриваемый период.

Обычно при сравнении цен и любых стоимостных показателей есть договоренность о том, какой период считать базовым

Тогда пересчет происходит следующим образом:

Если рассматриваемый период предшествует базисному, то для приведения стоимостных показателей к сопоставимому виду в ценах базисного периода  их следует умножить на базисные индексы инфляции – произвести инфлирование ( так как цены предшествующие базовому периоду меньше  цен базисного периода в раз Если рассматриваемый период позднее базисного, то для приведения стоимостных показателей к сопоставимому виду в ценах базисного периода  их следует  разделить на базисные индексы инфляции – произвести  дефлирование. (так как цены более поздних периодов, чем базисный содержат инфляционную составляющую и чтобы ее нивелировать следует разделить на базисный индекс инфляции 

Пример. Известны данные об объемах экспорта за несколько лет. Данные представлены в текущих ценах, т. е. содержат инфляционную составляющую

Для того, чтобы привести к сопоставимому ввиду, нужно исключить из данных инфляционную составляющую. Для этого следует знать цепные индексы инфляции за каждый период

Таблица.

Операции дефлирования и инфлирования

годы

Объем экспорта в текущих

ценах, млрд. руб.


цепной


базисный

экспорт реальный, млрд. руб.

1996

2007

1.46

3.25

6519.28

1997

2342

1.15

2.82

6615.18

1998

2629

1.19

2.37

6240.19

1999

4823

1.72

1.38

6655.74

2000

7305

1.38

1.00

7305.65

2001

8943

1.16

1.16

7709.48

2002

9830

1.16

1.35

7305.29

2003

11208

1.14

1.53

7306.46

2004

13027

1.2

1.84

7076.89

2005

15609

1.19

2.19

7125.68

2006

16917

1.15

2.52

6715.47

2007

18247

1.14

2.87

6353.89

2008

18376

1.18

3.39

5422.72

2009

18807

1.02

3.46

5441.09

2010

19321

1.14

3.94

4903.33

2011

20798

1.16

4.57

4550.14

Для данных экспорта ВНП в текущих ценах с 2001 года проводим операцию дефлирования (делим на базисный индекс инфляции). Для данных до 2000 года проводим инфлирование (умножаем на базисные индексы инфляции).

Как видно из рис., рост экспорта в текущих ценах гораздо больше (в следствие роста цен), чем рост реального экспорта

Рис.2.1.  Динамика экспорта, млрд. руб.