Вариант 24
№ 1
Привести пример событий 
и 
таких, что 
.
Решение
- «при подбрасывании игрального кубика выпадет четное число очков»;
- «при подбрасывании игрального кубика выпадет число очков от одного до шести»;
- «при подбрасывании игрального кубика выпадет четное число очков».
№ 2
Какова вероятность того, что наудачу взятое двузначное число делится на 3?
Решение
- «наудачу взятое двузначное число делится на 3»
По формуле классической вероятности:
.
Число всех исходов выбрать двузначное число - 
(от 10 до 99), число благоприятствующих исходов (число делится на 3) - 
(12, 15, …, 99).
.
№ 3
Сколькими способами можно сформировать железнодорожный состав из 9 вагонов так, чтобы 2-й и 4-й вагоны шли через один?
Решение
Всего 9 пронумерованных вагонов. Их нужно расставить на 9 мест так, чтобы 2-й и 4-й вагон шли через один. Сформируем состав в два действия: 1) расставим на места 2-й, 4-й вагон; 2) расставим на места остальные 7 вагонов.
Места способы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
1 | 2 (4) | 4 (2) | |||||||
2 | 2 (4) | 4 (2) | |||||||
3 | 2 (4) | 4 (2) | |||||||
4 | 2 (4) | 4 (2) | |||||||
5 | 2 (4) | 4 (2) | |||||||
6 | 2 (4) | 4 (2) | |||||||
7 | 2 (4) | 4 (2) |
Число всех способов сформировать состав найдем по правилу умножения:
№ 4
Во время тестирования по математике студент должен дать ответы на 5 вопросов. Вероятность того, что он правильно ответит на один вопрос, равна 0,8. Чтобы сдать тест, студенту необходимо дать правильные ответы не менее чем на три вопроса. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен.
Решение
- «студент сдаст экзамен». Ответы на экзаменационные вопросы – серия независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха 
(правильный ответ).
Вероятность того, что событие появится в 
независимых испытаниях 
раз, выражается формулой Бернулли:
,
где 
.
№ 5
Найти математическое ожидание случайной величины 
, которая принимает значения 1, 2, 3, 4, 5 с вероятностями соответственно 
, 
, 
, 
, 
, где 
- неизвестный параметр.
Решение
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
|
|
|
|
Для вероятностей 
справедливо равенство 
.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,1 | 0,1 |
№ 6
В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равно 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
Решение
- «стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки».
Рассмотрим гипотезы:
- «стрелок выбрал винтовку с оптическим прицелом», 
- «стрелок выбрал винтовку без оптического прицела».
По условию задачи:
По формуле полной вероятности:
.
Вероятности того, что стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом и без него, вычислим по формуле Байеса:
.
Поскольку 
, то вероятнее всего стрелок стрелял из винтовки без оптического прицела.
№ 7
Случайная величина 
задана плотностью распределения
Найти 
, 
и функцию распределения 
.
Решение
Функцию распределения на интервале 
найдем по формуле:
№ 8
Поезд состоит из 49 вагонов. Вес вагона – случайная величина 
, для которой 
т, 
т. Локомотив может везти поезд, если масса последнего не превосходит 3000 т. В противном случае подцепляют дополнительный локомотив. Какова вероятность того, что этого делать не придется.
Решение
Вес поезда 
можно представить как суму 49 случайных величин 
- весов отдельных вагонов:
,
имеющих одно и то же математическое ожидание 
и одну и ту же дисперсию 
. По правилу сложения математических ожиданий:
.
По правилу сложения дисперсий:
.
Для того чтобы один локомотив мог везти поезд, нужно чтобы вес поезда 
оказался приемлемым, т. е. попал в пределы участка (0; 3000). Случайную величину 
- сумму 49 слагаемых можно считать распределенной нормально.
.
Итак, локомотив "справится" с поездом приблизительно с вероятностью 0,8883.
