Олимпиадные задачи на четность.
Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей? (Эта задача появилась в то время, когда в ходу были купюры достоинством в 1, 3, 5, 10, 25, 50 и 100 рублей.)
Ответ. Нельзя. Заметим, что сумма четного числа нечетных чисел четна, а число 125 нечетное, поэтому разменять 125 рублей требуемым образом не удастся.
Задача. Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?Ответ. Не может. Число ягод на двух соседних кустах отличается на 1, поэтому на двух соседних кустах вместе нечетное число ягод. Тогда количество ягод на восьми кустах равно сумме четырех нечетных чисел, т. е. числу четному. Значит, на всех кустах вместе не может быть 225 ягод.
Задача. В королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги так, чтобы из каждого города выходило ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?Ответ. Не смогут. Подсчитаем количество дорог, которое необходимо проложить в королевстве. Из каждого города должно выходить 7 дорог. Всего городов 1001, т. е. всего должно выходить 1001*7 дорог. Но при этом каждую дорогу мы посчитали дважды, т. е. на самом деле в королевстве должно быть проложено (1001*7)/2 дорог, чего сделать, очевидно, не удастся.
Задача. Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?Ответ. Нельзя. Предположим, что мы смогли разрезать выпуклый 13-угольник на параллелограммы. Пусть а1 — сторона параллелограмма Р1, лежащая на стороне 13-угольника М, а2 — параллельная ей сторона. Если а2 не является стороной М, то на прямой l, содержащей а2, по другую сторону от параллелограмма Р1 расположен параллелограмм Р2, сторона которого лежит на l. Продолжая аналогично, мы дойдем до параллелограмма со стороной, лежащей на М. Значит, стороны 13-угольника разбиваются на пары параллельных. Однако их нечетное число — противоречие.
Ответ. Нельзя. Заменив все звездочки на плюсы, мы получим, что значение выражения в левой части равно 55. Начнем теперь заменять некоторые плюсы на минусы. При этом каждый раз значение выражения будет уменьшаться на четное число, т. е. значение выражения, стоящего слева, всегда будет нечетным числом. Значит, четное число 0 мы получить не сможем.
Задача. Можно ли все клетки таблицы 9 х 2000 заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел в любом столбце и сумма чисел в любой строке были бы простыми числами?Ответ. Нельзя. Предположим, что мы сумели расставить числа требуемым образом. Заметим, что сумма чисел в любом столбце и в любой строке больше двух. Поэтому все соответствующие суммы нечетны, так как они простые и больше двух. Тогда сумма всех чисел в таблице, с одной стороны, равна сумме девяти простых нечетных чисел, т. е. нечетна, а с другой стороны, она равна сумме 2000 простых нечетных чисел, т. е. четна, — противоречие.
Задача. В магазин "Все для малышей" привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?Ответ. Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 чисел (цена одной игрушки), все они нечетные, значит их сумма должна быть четна. Но 53 - число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя.
Задача. Спонсор решил устроить телефонизацию деревни Курочкино. Он хочет 7 имеющихся телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими. Можно ли это сделать?Ответ. При решении этой задачи используется такое соображение - если мы рассматриваем объекты типа веревки - провода, дороги, рукопожатия, знакомства и т. д. - то при любом количестве объектов число концов должно быть четным.
Предположим, что мы соединили 7 телефонов между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими. Посчитаем количество концов проводов, соединяющих эти телефоны. Понятно, что их число должно быть четным. От каждого из 7 телефонов отходит 3 конца, всего 7•3 = 21 конец, число нечетное, значит нельзя 7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими.
Ответ. Нет, т. к. если сложить 5 нечетных чисел, получим нечетный результат. А 100 четно.
Задача. Пять девятиногов с планеты Шуруру решили устроить турнир по армреслингу. Смогут ли он одновременно провести поединки для всех своих ног, чтобы все ноги принимали участие и в каждом поединке встречалось ровно две ноги?Ответ. Девятиноги не смогут провести поединки для всех ног одновременно, так как в каждом принимает участие 2 ноги, а всего ног 5*9 = 45.
Задача. Четна или нечетна сумма всех натуральных чисел от 1 до 17?Ответ. Из 17 натуральных чисел 8 четных: 2,4,6,8,10,12,14,16, остальные 9 нечетны. Сумма всех этих четных чисел четна (свойство 3), сумма нечетных нечетна. Тогда сумма всех 17 чисел нечетна как сумма четного и нечетного чисел. Нечетна.
Задача. В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей накаждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?
Ответ. Обозначим число жителей на этажах соответственно через a1 a2 a3 а4, a5, a
число жителей в подъездах соответственно через b1 b2 b3 b4. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами — по этажам и по подъездам:
а1 + а2 + а3 + а4 + а5 = b1, + b2 + b3 + b4. Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части — четной. Следовательно, это невозможно. Не могут.
