Тема: Задачи, решаемые с помощью интегралов.
Цели урока:
Обучающая (образовательная)
изучение способов вычисления площадей криволинейных трапеций
Развивающая
развитие логического мышления учащихся
формирование навыков самостоятельной работы, самооценки, исследовательские умения ( сопоставлять, классифицировать)
Воспитательная
Воспитание внимания, уважительного отношения к выступающему с сообщением товарищу, упорства для достижения конечных результатов.
Оборудование: мультимедийный проектор, экран, карточки с заданиями.
Форма урока: семинар.
Уроку - семинару предшествовала следующая работа:
Для того чтобы охватить на семинаре возможно больший теоретический материал, группу разбили на подгруппы и каждой из них предложили отдельное задание по теории. Каждая группа должна изучить соответствующие разделы учебника, прочитать дополнительную литературу и приготовить решения 1-2 типичных задач по данной теме.
Задание группам:
Вывести формулу для вычисления площади фигуры, составленной из неперекрывающихся криволинейных трапеций. Вывести формулу для вычисления площади фигуры, полученной как разность криволинейных трапеций, которые образованы графиками функций, принимающих только положительные значения. Вывести формулу для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции f(х), если f(х)<0 при хe[а, b] . Подготовить сообщение о применении интеграла к вычислению объемов отдельных частей шара. Подобрать задачи из практики, решаемые с помощью интегралов, отыскать возможности применения интегралов в курсе физики.Для семинара подготовлены карточки - задания (по одной на стол) с вопросами по каждому сообщению. Тогда обучающиеся будут внимательно слушать докладчиков, с тем, чтобы в их сообщениях отыскать ответ на вопрос из карточки.
Вопросы:
1. Как вычислить площадь фигуры, если она ограничена графиком функции р(х), где р(х)<0?
2. Найдите на доске фигуры, для вычисления площади которой надо сложить соответствующие интегралы.
З. Какое свойство площадей надо использовать при вычислении площадей фигур, имеющих сложную конфигурацию?
4. В записи f(х)...g(х)...0 вместо многоточий поставьте знаки «<» или «>» так, чтобы можно было вычислить по формуле s=(интеграл от а до в) (f(х)-g(х))dх площадь фигуры, образованной графиками функций f(х), q(х) и прямыми х=а, х=b.
5. Расскажите о способе отыскания площади фигуры, составленной из двух неперекрывающих друг друга криволинейных трапеций.
6. Укажите различные способы вычисления площади фигуры на (рис. З) и выберите из них
cамый рациональный.
7. Дан шар с центром в начале координат и радиусом R.
Укажите формулу для вычисления шарового слоя между плоскостями х=а и у=b.
8. (интеграл от а до в )f(х)dх=f(b)-f(а)?
9. Кто ввел знаки f(х); интеграла?
10. Какие задачи решаются с помощью интегралов?
Ход урока.
1) Преподаватель обращает, внимание студентов на экран и просит указать изображения криволинейных трапеций. Отвечая на этот вопрос, обучащиеся обосновывают свои ответы. Тут же выясняется, что площади заштрихованных фигур на рис.4 и 5 вычисляются по формуле (интеграл от а до в) f(х)dх
Возникает вопрос: «Как найти площадь остальных фигур?»
Преподаватель рассказывает о важном принципе решения математических задач - сведение задачи к известной. Студенты высказывают предположение: для того чтобы вычислить площадь S более сложной фигуры, нужно выделить в ней криволинейные трапеции, вычислить их площади ( допустим, они равны S1 и S2) и найти S как сумму площадей S1 и S2 т, е. S=S1+ S2.
Итог сказанному подводит представитель первой группы, которой подробно описывает способ вычисления площади фигуры ОАВ на рис.6 и записывает основные этапы вычислений в первом из пунктирных прямоугольников ( под символом «Sоав »):
а.) Построить графики функций f(х) и g(х), образующие ( вместе с осью Ох ) криволинейную трапецию.
б.) Найти абсциссу точек пересечения графиков функций f(х) и g(х) друг с другом и с осью. Ох.
в.) Если S=S1+ S2, то S=(интеграл от а до в )f(х)dх+ (интеграл от а до в ) g(х)dх
где х=в абсцисса точки пересечения графиков функций f(х) и g(х), х=а и х=с - абсциссы точек пересечения графиков функций f(х) и g(х) с осью. Ох, соответственно.
Преподаватель задает обучающимся контрольный вопрос: «На чьих карточках вопросы соответствуют докладу первой группы?» учащиеся поочередно встают, зачитывают свои вопросы (№ 2,3,5) и отвечают на них. Далее продолжается отчет первой группы, ее следующий представитель демонстрирует на откидном крыле доски решение одной из задач учебного пособия, которую ребята этой группы сами выбрали для доклада.
К рисунку 6. Найди площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = х2+ 2х + 1 и у= 2 + 4х – х2
Представитель второй группы выводит формулу для вычисления фигуры типа той, что показана на рис. 7 в табл. 2. Применение формулы сводится к трем основным моментам:
а.) Найти на оси Ох отрезок а, в, на котором заданы функции f(х) и g(х).
б.) Построить графики функций f(х) и g(х) для хе[а, в]
в.) Если S1=(интеграл от а до в )f(х)dх, S2=(интеграл от а до в )g(х)dх и S= S1- S2.
,то S=(интеграл от а до в )(f(х)- g(х))dх, где f(х)> g(х) на [а, в] (1)
Пункты а) - в) докладчик кратко записывает на доске под рис.7, там, где отчеркнуто место. Затем учащиеся разбирают ответы по карточкам (№ 3,4) и заслушивают решение одной из типичных задач.
К рисунку 7. Вычислить площадь фигуры ограниченными графиками функций:
у=х2+2х+ 1 и у=2 + 4х+х2
Студент из третьей группы рассказывает о решении задач на вычисление площади фигуры, ограниченной графиком функции f(х),если f(х) < 0, и прямыми х = а и х =в. Основные моменты своего доклада он записывает под рис.8 в третьем пунктирном прямоугольнике. Эти моменты сводятся к следующим:
а.) Найти отрезок [а, в] , на котором задана функция f(х).
б.) Построить график f(х) на[а, в] .
в.) Если f(х) <0 на[а, в] , то S =(интеграл от а до в )(-f(х))dх
В дальнейшей беседе с преподавателем студент устанавливает, что данный случай можно свести к предыдущему, если в формуле (1) положить f(х) =0 при хе [а, в]
Разбирая вопрос по карточке № 6, студенты укажут два способа вычисления площади фигуры на рисунке 3:
Далее выборочно рассматриваются способы вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми, которые обучающиеся чертили на отдельных листочках, готовясь к семинару.
Выступление учащегося из четвертой группы проходит только устно, так как он касается вопросов, уже разобранных на уроке геометрии. На семинаре это выступление служит целям систематизации знаний. Кроме того, четвертая группа должна предъявить классу решение одной задачи по своей теме. К шару.
Учебник № 000.
Представитель пятой группы предлагает классу разобрать следующую задачу - «о каше»:
« Сережа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил бабушку: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» - «Это очень просто, - ответила бабушка, - ровно половину дна. Теперь заметь точку на стенке кастрюли у края, до которого поднялась крупа, и зажми ее пальцем. До этого уровня надо налить воду!»-«Так ведь пшена можно насыпать побольше или поменьше, да и
кастрюли бывают разные - широкие, узкие»,- усомнился Сережа. « Все равно, мой способ годится в любом случае»,- гордо ответила бабушка.
Докажите, что бабушка права отношение объемов воды (Vв) и крупы (Vкр.) по ее рецепту для любой цилиндрической кастрюли получается одинаковым. Найдите, чему равно это отношение».
Решение. На рисунке 9,а изображена стоящая кастрюля, а на рисунке 9,6- кастрюля, наклоненная так, как советовала бабушка. Поместим исследуемую модель в систему координат, чтобы основание цилиндра ( кастрюли ) лежало в плоскости ХОУ, а центр основания О стал началом координат. Через точку х на оси ОХ, х - R; R, строим сечение тела (т. е. горки из крупы внутри кастрюли) плоскостью, перпендикулярной оси ОХ и параллельной оси ОУ. Треугольник, получившийся в сечении (рисунок 10), обозначим через МNх. Очевидно, что треугольник МNх подобен треугольнику АВО. Тогда МN = Мх, т. е. МN = у и МN = hу АВ АО h R R
Значит, SМNх = 0,5 МN Мх = hу2 учитывая, что точка М принадлежит
2R
окружности радиуса R и координаты (х, у), получаем х2 + у2 = R2, т. е. у2 = R2 – х2 .Тогда S(х) = SМNх = h(R 2 –х2 )
2R
Отсюда Vкр =2(интеграл от 0 до R) (h(R2-х2)/ 2R)dх=2 /3 hR2,
Но Vв = Vц –Vкр = «Пи»R2h - 2 /3 R2 h= R2h/3(3 «Пи» -2),
Значит, Vв/Vкр =3/2 «Пи»- 0,5. Эта величина не зависит от размеров цилиндра (кастрюли)
Подведение итогов
Все ребята работали замечательно. У кого-то получилось лучше, а у кого-то хуже. По результатам семинара …. получают «5», …. «4».
Рефлексия
На экране изображена елочка с трехбалльной шкалой. Если вы считаете, что хорошо поработали на уроке и разобрались в способах вычисления площадей криволинейных трапеций, то поставьте себе 3 балла, если остались невыясненные до конца вопросы, то ниже. Покажите свои баллы.
Домашнее задание
Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций у=6-2х и у=6+х-х2
Значит, Ув-Ъ^Л. Эта величина не зависит от размеров цилиндра (кастрюли). Укр 2
Подведение итога урока. Домашнее задание : Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций у = 6-2х и у = 6 + х-х^
с Ф в
Г
1
Список литературы:
Алгебра и начала анализа : Учебник для 10-11 классов средней школы , и др.. Под ред. . - М.: Просвещение, 1994 г. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 кл.: Пособие для учителя |Б. М,Ивлев, , . - 3 изд., переработанное М.: Просвещение, 2001г. Из опыта работы // Математика в школе - 1989, № 5,с 30-37.