(3.6)

Из уравнения эйконала (3.3) также следует, что изменение фазы волны (акустической длины пути) равно dΦ= nds, приращение времени распространения сигнала вдоль луча dT=ds/c = nds/c0. Следовательно, для полного времени T и фазы волны Φ получим в результате интегрирования:

                                                               (3.7)

Амплитуда A(R) найдется из (3.4), где с учетом (3.5) ∇A∇Φ = ndA/ds. Поток звуковой энергии в каждой точке направлен вдоль луча, то есть заключен внутри лучевой трубки, образованной лучами, вышедшими из источника О и заключенными в телесном угле dΩ0 (см. рис.3.1). К интегралу от ΔΦ =∇(∇Φ)=div(gradΦ) по объему лучевой трубки, заключенному между близкими сечениями dS1 и dS2, и применим теорему Гаусса-Остроградского: . Отсюда, вводя величину σ =dS/dΩ0 - расширение лучевой трубки,

Рис.3.1.

имеем σΔΦ = d(nσ)/ds. Подставив ∇A∇Φ и ΔΦ  в уравнение (3.4), получим:

                               (3.8)

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Здесь A0 — константа, определяемая из условий вблизи излучателя, где можно пренебречь рефракцией и считать среду однородной (n=1). Для точечного источника в однородной среде лучи (решения уравнения (3.6)) будут прямыми линиями, параметр s=R = |R|, фаза Φ=R, лучевая трубка будет конусом с телесным углом dΩ0, ее поперечные сечения пропорциональны R2 (dS=R2dΩ0), следовательно, σ = R2 и A(R) =A0/R. Подставив эти выражения в (3.2), получим сферическую волну (2.13) с амплитудой A0, соответствующей точечному источнику в (2.14).

Скорость частиц жидкости в волне (3.2) можно найти, используя первое уравнение (2.4) линейной акустики. При вычислении  нужно дифференцировать лишь экспоненциальный множитель, содержащий большой параметр (высокочастотное приближение k0→∞), что дает:

.

Направление вектора плотности потока мощности I=pv совпадает с направлением ∇Φ (единичного вектора e). Для интенсивности звука I=<|I|> с использованием также (3.8) получаем:

.                                                                (3.9)

Часто используется на практике не абсолютная величина интенсивности, а ее отношение к интенсивности, создаваемой тем же источником в той же точке R, но в однородной среде (2.15). Такое отношение называется фактором фокусировки f= R2/σ(R)

Лучи в слоистых средах. Полученные выше общие формулы лучевого приближения существенно упрощается, если показатель преломления среды зависит только от одной координаты, например z: n= n(z). При этом лучи не будут выходить из плоскости, содержащей ось Оz и направление выхода луча из источника (z=z0, c(z0)=c0), определяемое единичным вектором e0. Обозначив горизонтальную координату в этой плоскости через r, имеем для единичного касательного к лучу вектора в любой точке e= ercosα + ezsinα, где α - угол луча с осью Оr, называемый углом скольжения, er и ez - орты координатных осей, α 0= α(z0) - угол выхода луча из источника. Траектории лучей будут описываться функцией z=z(r). Умножая уравнение луча (3.6) скалярно на единичный вектор er и учитывая, что ∇n= ez dn/dz и erez = 0, получаем закон Снеллиуса (ср. с (2.10))

.                                (3.10)

Очевидно, что dr = cosα⋅ds, dz = sinα⋅ds, и уравнение луча (3.6) в этом случае переходит в

, откуда горизонтальное смещение луча:

.                                                                (3.11)

При использовании этой формулы (как и последущих) следует иметь в виду, что в общем случае зависимость r(z) будет неоднозначной функцией. Луч может многократно возвращаться на горизонт z, испытывая поворот в точках, где подкоренное выражение в (3.11) обращается в нуль, когда n(zm) = cosα 0, c(zm) = c0/cosα 0 . При этом интеграл в (3.11) переходит в сумму интегралов по интервалам однозначности функции r(z).

Выражения для времени распространения сигнала T и фазы волны Φ (3.7) перейдут в:

.                (3.12)

Полная фаза волны (3.2) с учетом множителя exp(-iωt) равна k0Φ-ωt, набег фазы по горизонтали (r) с учетом (3.12) будет: ω(rcosα 0/c0 - t). Отсюда следует, что скорость перемещения волнового фронта (rcosα 0/c0 - t = const) по горизонтали, называемая также фазовой скоростью волны, равна  cph = c0/cosα 0 = c(zm) - скорости звука на глубине поворота луча zm.

Найдем амплитуду волны A(r, z), определив в (3.8) расширение лучевой трубки σ =dS/dΩ0. В силу цилиндрической симметрии задачи рассмотрим лучевую трубку в виде пояса, образованного вращением вокруг оси z ее поперечного сечения dl, показанного на рис.3.2. Тогда ее площадь dS=2πrdl, но, как видно из рис.3.2, dl =cosα⋅dz = [cosα0/n(z)]|(∂z/∂α0)r|dα0 и dS=2πr|(∂z/∂α0)r|[cosα0/n(z)]dα0. Очевидно, что отвечающий этой трубке телесный угол dΩ0=2πcosα 0dα0. В результате для σ, интенсивности звука I (3.9) и фактора фокусировки f= R2/σ(R) получаем:

Рис.3.2.

.                (3.13)

В рассматриваемом случае цилиндрической симметрии бывает удобным в выражении для f заменить полное (наклонное) расстояние от излучателя до приемника R на радиальное r, исключая не сферическое, а цилиндрическое расхождение. При этом выражение для f переходит в более простое fr, не содержащее еще одного расстояния R.

Интегралы, входящие в формулы (3.11 – 3.13) вычисляются в элементарных функциях для некоторых простых зависимостей n(z).

Постоянный градиент скорости звука. В этом случае записав скорость звука в виде c(z)= c0[1+q(z-z0)] и дифференцируя закон Снеллиуса (3.10) по z, получим: sinα⋅dα/dz=-qcosα 0=const. Левая часть этого выражения с учетом связи dz=sinα⋅ds преобразуется в dα/ds=κ, где κ - постоянная кривизна траектории луча. Следовательно, луч является окружностью радиуса |κ|-1=|qcosα 0|-1 с центром, расположенным в точке пересечения перпендикуляров к векторам e0={cosα 0, sinα0} и e={cosα, sinα}. Координаты этой точки O′:{r-sinα/κ, z+cosα/κ}={-sinα0/κ, z0+cosα0/κ}, а уравнением окружности будет:

Рис.3.3.

,                                                (3.14a)

или

,                                                (3.14b)

В практических расчетах часто используется также параметрическая форма уравнения луча:

.                                        (3.14c)

Время распространения сигнала по лучу найдем из дифференциального соотношения dT=ds/c=dα/[κc(α)], где c(α)=c0[1+q(cosα0-cosα)/κ]= c0cosα/cosα0. Следовательно, dT=-(qcosα)-1dα, откуда после интегрирования получаем:

.                                                        (3.15)

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5