Лекция № 5. Проверка статистических гипотез.

Опр. Статистической гипотезой называется всякое утверждение, относительно генеральной совокупности, которое может быть проверено по статистическим данным.

Два вида статистических гипотез:

    Параметрические

а) речь идет о значения параметров ген. совокупности при известном законе распределения

б) речь идет о равенстве параметров двух и более ген. совокупностей

    Непараметрические

Речь идет о законе распределения, независимости выборок и т. д.

Этапы проверки параметрических статистических гипотез:

Формулировка гипотез

Основная (нулевая) гипотеза  ( а) о значении параметра, б) о равенстве параметров), всегда содержит знак «=»

Пример:

а) :   или  М(х)   или 

б)

Обязательно в паре с основной гипотезой идет альтернативная(конкурирующая) гипотеза


Пример:

– гипотетическое значение М(х)

Простая гипотеза

(«привело ли к уменьшению…»)

Н1: М(х)<м0 («привело ли к увеличению…»)

Сложная гипотеза

(«мат ожидание не меньше…»)

Или

(мат ожидание не превышает)

II Этап

Выбор статистики критерия (т. е. функции от выборки) по значениям которой будет проверяться справедливость гипотезы

    Для гипотез о значении М(х)О

Статистика критерия:

если известна

  Gг – дисперсия генеральная находится:

СВ:    при нормальном распределении N (M(z)=0, G(z)=1)

Если не известна

СВ:   при законе распределения St(df=n-1)

    Для гипотез о значении доли

Статистика критерия будет:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

– выборочная доля, найденная по выборке

  разделим все на n

 

    Для гипотез о значении генеральной дисперсии

– исправленная выборочная дисперсия, в состав которой входит выборка , – гипотетические значение генеральной дисперсии

Статистика критерия: при распределении

Этап III Уровень значимости

Поскольку гипотезы проверяются на основе статистических данных, то возможна ошибка. Ошибки двух видов:

Ошибка первого рода

Отклонить основную гипотезу, если она верна

Позволим себе ошибиться в 10%, или в 5%, или в 1%, тогда уровень значимости б = 0,1  или =0,05 или б= 0,01

Ошибка второго рода

Принять основную гипотезу, если она не верна  

Если мы будем слишком страховаться и брать б все меньше и меньше, то у нас возрастет вероятность принять основную, если она не верна, а именно: в

Этап IV Нахождение критической области

Этапы 1, 2 и 3 будут учитываться.

Этап 1: Если , то критическая область двусторонняя, то есть . Если , то критическая область односторонняя правосторонняя. Если , то критическая область односторонняя левосторонняя.

Этап 2: Если Z  распределено по N (M(z)=0, G(z)=1),то формула зависит от G=1. Если t распределено по St(df=n-1), то критическая точка зависит от n. Если

Этап 3: Если Z распределено по N(M(z)=0, G(z)=1), то

Вероятность попадания z левее критической левой точки равна: , вероятность попадания z правее критической правой точки равна:.

Z кр. правая по таблице Ла Пласа . Z кр. правая ищется как  (1/2 – б/2)

Z кр. лев. = - Z кр. правая.

Этап V Находим наблюдаемое значение критерия (их Этапа II)

Z наблюдаемого = = …= число

t наблюдаемого = …= число

наблюдаемого= …= число

Этап VI По взаимному расположению критической области и наблюдаемого значения критерия делаем вывод:

Если z наблюдаемое попадает правее z правой критической, то Н0 не верна и мы принимаем . Если z наблюдаемое попадает левее z левой критической, то Н0 не верна и мы принимаем .

Н1, Н0 отвергаем        Н0        Н1, Н0 отвергаем

  Z кр. левое        z кр. правое

  Z наблюдаемое