Взаимодействие конического штампа с неоднородным основанием
Первостепенное значение для расчета фундаментов из конических свай имеет определение напряжений и перемещений в грунтовом массиве. Важнейшим вопросом является также изучение зоны уплотнения грунта, формируемой вокруг фундамента в процессе его нагружения. Таким образом, представляет большой интерес возможность определения компонент вектора напряжений и деформаций в любой точке грунтового основания вокруг конического фундамента.
Во многих известных задачах получены напряжения на контакте между заглубленной конструкцией и окружающим массивом [1, 2, 3]. Вопросом исследования напряженно-деформированного состояния неоднородного основания при внедрении в него жесткого конического тела практически не уделялось внимания.
Ниже показано численное решение задачи о взаимодействии жесткого конического штампа, моделирующего конический фундамент, с неоднородным упругим основанием. Физическая и математическая постановка задачи заключалась в следующем. В результате действия осесимметрично передаваемой на жесткий штамп нагрузки P в основании возникали нормальные напряжения уr, уz, уӨ, касательные напряжения фrz, радиальные U1 и вертикальные U2 перемещения. Сам штамп перемещался на величину д. Внутри исследуемой области Ω (рис.1) выполнялись уравнения равновесия осесимметричной задачи теории упругости.
Рис. 1. Схема разбиения исследуемой области Ω на конечные элементы
На контуре граничные условия принимались следующими:
уz= фrz = 0, при z = 0, r>R,
то есть на поверхности вне штампа напряжения отсутствуют. По мере удаления в глубину и в стороны от штампа перемещения затухают
U1 = U2 = 0, при z = H⋃(r, z) ∊LKM.
Так как грунт предполагается жестко скрепленным со сваей, то на ее боковой поверхности выполняются условия:
U1 = 0, U2 = д, при (r, z) ∊ABM1.
Под штампом вдоль оси Z выполняются условия симметрии:
U1 = 0, 
= 0, при r = 0.
Решение проводилось в цилиндрической системе координат r, Ө, z методом конечных элементов (МКЭ) [4, 5]. Для построения решения исследуемая область была разбита на элементы в виде параллелограммов и прямоугольников (см. рис. 1).
Неизвестными параметрами являлись радиальные U1 и вертикальные U2 перемещения узлов rizj, при пробегании индексами i и j всех значений
i = 0, 1, 2, … , M1, … , M;
j = 0, 1, 2, … , N1, … , N2.
Внутри каждого элемента задано полилинейное распределение функций UK, K = 1, 2:
UK = aKr + bKz + cKrz + dK,
где aK, bK, cK, dK – постоянные коэффициенты, выраженные через перемещения соответствующих узлов на элементах 
, ℋ = 1, 2, 3, 4. Окончательно перемещения UK, K = 1, 2 на всем параллелограмме 
представлены в виде
гдецi, j(r, z) ицj(z) – кусочно-полилинейные координатные функции.
В силу принципа Лагранжа решение свелось к вариационной задаче о нахождении минимума функционала энергии
Входящие в функционал напряжения и деформации определялись из геометрических и физических уравнений теории упругости. В результате минимизации была получена система алгебраических уравнений для определения радиальных и вертикальных перемещений узловых точек области Ω. Решение системы проводилось методом верхней релаксации
Un+1 = Un - фAUn,
где Un – вектор столбец узловых перемещений;
A – матрица коэффициентов;
AUn – система алгебраических уравнений МКЭ;
ф – итерационный параметр.
По найденным перемещениям определялись компоненты вектора напряжений в узловых точках Ω и на контакте конического штампа с основанием. В результате интегрирования напряжений по поверхности штампа определялась сила, действующая на него. Для решения системы уравнений и вычисления напряжений составлена программа для ЭВМ. С помощью этой программы определены поля напряжений и перемещений в грунтовом основании конического фундамента при различных его геометрических параметрах и характеристиках окружающего грунта. Установлено, что изменение угла сбега образующих конического фундамента от 2є до 15є при постоянном его перемещении приводит к увеличению вертикальных напряжений, действующих на боковую поверхность на 20-25%. Изменение модуля общей деформации естественного грунта при постоянных значениях модулей в пределах уплотненной зоны практически не влияет на величину нагрузки, воспринимаемой фундаментом. Увеличение коэффициента Пуассона от 0,25 до 0, 4 незначительно (до 5%) влияет на напряженное состояние основания конического фундамента.
Метод решения задачи позволил учесть неоднородность грунтового массива, которая обусловлена формированием уплотненной зоны в процессе погружения фундамента[6]. Так, при увеличении максимальной ширины зоны уплотнения с 2,0 до 2,5 Dнагрузка, действующая на фундамент, возрастает в 1,3-1,5 раза, а изменение значений модулей общей деформации грунта внутри уплотненной зоны в 1,5 раза приводит к изменению нагрузки на фундамент на 25-30%.
Литература
, Уфлянд контактная задача о вдавливании упругого цилиндра в упругий слой. – Прикладная математика и механика, 40, 1976, №1. с. 79-84. , Шишов распределения контактных напряжений для заглубленных штампов. – В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. 1977, вып. 30, с. 44-47. Стаин в грунте в окрестности осесимметрично нагруженного жесткого фундамента. – В кн.: Труды Фрунзенского политехнического института. 1972, вып. 53, с. 29-33. Ухов сооружений и оснований методом конечных элементов. –М.: Изд-во МИСИ, 1973. -118с. Винокуров метод расчета оснований и фундаментов с помощью ЭВМ. –Минск: Наука и техника, 1972. -246с. , О формировании зоны уплотнения вокруг конической сваи. – В кн.: Перспективные разработки проектирования и комплексное строительство сельскохозяйственных объектов на Северном Кавказе. – Ростов-на-Дону, 1984. с. 27-32.
