Двойные интегралы

Общий вид:

Пример 1. Вычислить , где D ограничена линиями .

Якобиан:

] и

- якобиан

Полярные координаты:

и

Пример 2. Вычислить ,
где D - .

Свойства:

;

;

Если в области D , то ;

Если , то ;

, где M и m – min и max f(x;y);

- среднее значение в обл D;

Тройные интегралы

Пример 1. Вычислить , где V ограничена

Якобиан:

] , и

- якобиан

Цилиндрические координаты:

, ()

Пример 2. Вычислить , где V ограничена частью конуса и плоскостью .

Сферические координаты

, ()

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной.

Криволинейные интегралы I

Криволинейные интегралы I рода

Суть:

Если АВ – направляющая цилиндрической поверхности, заданной функцией , тогда S этой поверхности вычисляется по формуле:

Т. Если функция непрерывна в кажд точке гладкой кривой (в кажд точке существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Свойства:

криволинейный интеграл не зависит от направления пути интегрирования;

;

;

;

Если , то ;

, где l – длина АВ;

Параметрическое представление кривой АВ.

, x(t) и y(t) – непрерывны и дифференцируемы. Точка А - , B -

Явное представление кривой АВ.

, где - непрерывна и дифференцируема

Пример 1. Вычислить , где L – отрезок прямой между точками О(0;0) и A(4;3)

Уравнение ОА:

Полярное представление кривой АВ

AB:

Пример 2. Вычислить , где L – лепесток лемнискаты (Iй координатный угол)

Криволинейные интегралы II рода

Общий вид:

Т.  Если кривая АВ гладкая, функции P(x;y) и Q(x;y) непрерывны на отрезке АВ, то криволинейный интеграл II рода существует.

Свойства:

- если АВOx

Параметрические представления кривой АВ.

, x(t) и y(t) (и их производные)– непрерывны и дифференцируемы. Точка А - , B -

Явное представление кривой АВ.

, где и - непрерывны и дифференцируемы

Связь интегралов I и II рода:

, где и - углы между касательной и осями Ox и Oy

Пример 1. Вычислить , где L – ломаная ОАВ, где О(0;0), A(2;0), B(4;2).

OA: ; OB:

s

Формула Остроградского-Грина:

Если функции P(x;y) и Q(x;y) непрерывны вместе с их частными производными в области D, то имеет место формула:

где L – граница области D.

Условие независимости криволинейного интеграла:

не зависит от пути интегрирования, при

Поверхностные интегралы

Поверхностные интегралы I рода

Вычисление:

где D – проекция S на плоскость Oxy.

Поверхностные интегралы II рода

Вычисление:

Формула Остроградского-Гаусса:

где S – граница области V.

Формула Стокса:

Объемы:

V цилиндрического тела:

V области:

V тела, ограниченного сверху S2, снизу S1, сбоку - цилиндрической поверхностью S3 (образующие ||Oz)

где S= S1+ S2+ S3

Ряды Фурье

Общий вид:

где период T = 2l

Теорема Дирихле (достаточное условие)

Ряд Фурье сходится, если на отрезке [-l;l]:

f(x) – кусочно непрерывна или имеет конечное число разрывов I рода; f(x) – кусочно монотонна

При этом:

В точках непрерывности сумма ряда S(x) = f(x) В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна В точках x = - l и x = l сумма ряда равна

Для чётных и нечётных функций

Для чётной

Для нечётной

Комплексная форма ряда Фурье

Интеграл Фурье

Векторное поле

Векторная линия поля называется линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора (векторная линия магнитного поля – силовая линия)

Поток поля через поверхность S – интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности

Дивергенция – характеризует распределение и интенсивность источников и стоков поля

- Формула Остроградского-Гаусса говорит о том, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по V, ограниченному данной поверхностью

Циркуляция поля вдоль L – криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора на вектор

Ротор поля – вектор, определяемый формулой:

- Формула Стокса показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна поточу ротора этого вектора через поверхность S, натянутую на контур L

Соленоидальное поле – векторное поле, если во всех его точках дивергенция равна 0 ()

Свойства:

Поток вектора через любую замкнутую поверхность равен 0 (по ф-ле Остроградского-Гаусса) Существует векторный потенциал () Поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (интенсивность трубки)

Потенциальное поле (безвихревое, градиентное) – поле, во всех точках которого ротор равен 0 ()

Свойства:

Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна 0 (по ф-ле Стокса) В потенциальном поле криволинейный интеграл вдоль кривой L с началом в точке М1 и концом в точке М2 не зависит от формы кривой.

Гармоническое поле (лапласовое) – если оно одновременно является и соленоидальным, и потенциальным

( и )